Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

I . Lí thuyết:

        1 . Định lí: Với các số a và b không âm, ta có: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Chú ý: Một cách tổng quát, với các biểu thức A và B không âm, ta có :

$\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$

        2 . Khai phương một tích:

Quy tắc: Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

        3 . Nhân các căn thức bậc hai:

Quy tắc : Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý: Với $A\ge 0:{{(\sqrt{A})}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}}=A$.

II . Bài tập ví dụ :

     Bài toán 1: Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

$a,\sqrt{3}.\sqrt{48};$

$b,\sqrt{7}.\sqrt{63}.$

                                                   Giải

$a,\sqrt{3}.\sqrt{48}=\sqrt{3.48}=\sqrt{144}=12$

b, 21.

     Bài toán 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

$a,\sqrt{54.6};$

$b,\sqrt{108.48}.$

                                                 Giải

$a,\sqrt{54.6}=\sqrt{9.6.6}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=3.6=18$

$b,72$.

     Bài toán 3: Rút gọn rồi tính : $\sqrt{27,{{2}^{2}}-12,{{8}^{2}}}.$

                                                       Giải

$\sqrt{27,{{2}^{2}}-12,{{8}^{2}}}=\sqrt{(27,2-12,8)(27,2+12,8)}=\sqrt{40.14,4}=\sqrt{576}=24$

     Bài toán 4: Rút gọn :

$A=\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1}-\sqrt{2\sqrt{2}+2};$$$

                                                  Giải

Đặt $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1}$, nhận xét: x > 0

$\Rightarrow {{x}^{2}}={{(\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1})}^{2}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1+2\sqrt{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=2\sqrt{2}+2$

$\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt{2}+2}\,\,$( vì x > 0 ). Vậy A = 0

      Bài toán 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$. Tính giá trị của biểu thức

$P=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-x)(4-z)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}.$

                                                        Giải

Từ giả thiết : $\sqrt{xyz}+x+y+z=4\Leftrightarrow 4(x+y+z)+4\sqrt{xyz}=16.$

Ta có : $x(4-y)(4-z)=x\text{ }\!\![\!\!\text{ }16-4(x+y)+yz]$

                                  $=z\text{ }\!\![\!\!\text{ }4(x+y+z)+4\sqrt{xyz}-4(y+z)+yz\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$

                                  $=x{{(2\sqrt{x}+\sqrt{yz})}^{2}}={{(2x+\sqrt{xyz})}^{2}}.$

Từ đó suy ra:

     $\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}=8$

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Tính : $\frac{3}{4}\sqrt{2}(\frac{4}{3}\sqrt{8}-\frac{2}{3}\sqrt{32}-4\sqrt{18}).$

Bài 2: Tính :

$a,\sqrt{2\sqrt{6}+5}.\sqrt{5-2\sqrt{6}};$

$b,(7\sqrt{2}-2\sqrt{5})(7\sqrt{2}+2\sqrt{5});$

$c,(2+\sqrt{3}+\sqrt{5})(2-\sqrt{3}-\sqrt{5}).$

Bài 3: So sánh:

a, $5\sqrt{6}$ và  $6\sqrt{5};$

b, $\sqrt{24}+\sqrt{26}$ và 10.

Bài 4: Giải phương trình:

$a,\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

$b,\sqrt{x+\sqrt{x-11}}+\sqrt{x-\sqrt{x-11}}=4$

Bài 5: Giải phương trình :

$a,\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2};$

$b,\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+17{{x}^{2}}-8x+22;$

$c,\sqrt{x+{{x}^{2}}}+\sqrt{x-{{x}^{2}}}=x+1.$

Bài 6: a, Cho a,b > 0, c $\ne$ 0. Chứng minh rằng :

  b, Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng

         $\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}$

 

Bài viết gợi ý: