Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
I . Lí thuyết:
1 . Định lí: Với các số a và b không âm, ta có: \[\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\]
Chú ý: Một cách tổng quát, với các biểu thức A và B không âm, ta có :
\[\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\]
2 . Khai phương một tích:
Quy tắc: Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
3 . Nhân các căn thức bậc hai:
Quy tắc : Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Chú ý: Với \[A\ge 0:{{(\sqrt{A})}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}}=A\].
II . Bài tập ví dụ :
Bài toán 1: Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
\[a,\sqrt{3}.\sqrt{48};\]
\[b,\sqrt{7}.\sqrt{63}.\]
Giải
\[a,\sqrt{3}.\sqrt{48}=\sqrt{3.48}=\sqrt{144}=12\]
b, 21.
Bài toán 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
\[a,\sqrt{54.6};\]
\[b,\sqrt{108.48}.\]
Giải
\[a,\sqrt{54.6}=\sqrt{9.6.6}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=3.6=18\]
\[b,72\].
Bài toán 3: Rút gọn rồi tính : \[\sqrt{27,{{2}^{2}}-12,{{8}^{2}}}.\]
Giải
\[\sqrt{27,{{2}^{2}}-12,{{8}^{2}}}=\sqrt{(27,2-12,8)(27,2+12,8)}=\sqrt{40.14,4}=\sqrt{576}=24\]
Bài toán 4: Rút gọn :
\[A=\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1}-\sqrt{2\sqrt{2}+2};\]\[\]
Giải
Đặt \[x=\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1}\], nhận xét: x > 0
\[\Rightarrow {{x}^{2}}={{(\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt{\sqrt{2}+1})}^{2}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1+2\sqrt{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=2\sqrt{2}+2\]
\[\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt{2}+2}\,\,\]( vì x > 0 ). Vậy A = 0
Bài toán 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : \[x+y+z+\sqrt{xyz}=4\]. Tính giá trị của biểu thức
\[P=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-x)(4-z)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}.\]
Giải
Từ giả thiết : \[\sqrt{xyz}+x+y+z=4\Leftrightarrow 4(x+y+z)+4\sqrt{xyz}=16.\]
Ta có : \[x(4-y)(4-z)=x\text{ }\!\![\!\!\text{ }16-4(x+y)+yz]\]
\[=z\text{ }\!\![\!\!\text{ }4(x+y+z)+4\sqrt{xyz}-4(y+z)+yz\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\]
\[=x{{(2\sqrt{x}+\sqrt{yz})}^{2}}={{(2x+\sqrt{xyz})}^{2}}.\]
Từ đó suy ra:
\[\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}=8\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Tính : \[\frac{3}{4}\sqrt{2}(\frac{4}{3}\sqrt{8}-\frac{2}{3}\sqrt{32}-4\sqrt{18}).\]
Bài 2: Tính :
\[a,\sqrt{2\sqrt{6}+5}.\sqrt{5-2\sqrt{6}};\]
\[b,(7\sqrt{2}-2\sqrt{5})(7\sqrt{2}+2\sqrt{5});\]
\[c,(2+\sqrt{3}+\sqrt{5})(2-\sqrt{3}-\sqrt{5}).\]
Bài 3: So sánh:
a, \[5\sqrt{6}\] và \[6\sqrt{5};\]
b, \[\sqrt{24}+\sqrt{26}\] và 10.
Bài 4: Giải phương trình:
\[a,\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\]
\[b,\sqrt{x+\sqrt{x-11}}+\sqrt{x-\sqrt{x-11}}=4\]
Bài 5: Giải phương trình :
\[a,\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2};\]
\[b,\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+17{{x}^{2}}-8x+22;\]
\[c,\sqrt{x+{{x}^{2}}}+\sqrt{x-{{x}^{2}}}=x+1.\]
Bài 6: a, Cho a,b > 0, c \[\ne \] 0. Chứng minh rằng : .png)
b, Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng
\[\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\]
