Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

I . lí thuyết :

1 . Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi một đường thẳng a và đường tròn (O;R) có hai điểm chung ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O;R).

Khi đó: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a thì OH là khoảng cách từ O đến a.

2 . Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:

Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) có một điểm chung tại C ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc nhau.

Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm C gọi là tiếp điểm và OC chính là khoảng cách từ O đến a. Khi đó OH = R.

Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

3 . Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:

Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau.

4 . Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng và bán kính của đường tròn.

Cho đường thẳng a và (O;R). Đặt OH = d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Khi đó:

- d < R < = > Đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) hay đường tròn và đường thẳng có 2 điểm chung.

- d = R < = > Đường thẳng a có 1 điểm chung với (O;R) ( hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R)).

- d > R < = > Đường thẳng a không có điểm chung nào với đường tròn (O;R).

II . Bài toán ví dụ :

Bài toán 1 : Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn (O;5cm).

a, Đường thẳng a có vị trí như thế nào vời đường tròn (O)? Vì sao ?

b, Gọi A và B là các giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng a. Tính độ dài AB?

Giải

b, Xét \[\Delta BOH\,\,\,(\widehat{H}=90{}^\circ )\]theo định lí Pytago

Ta có : \[O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Rightarrow HB=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4(cm)\]

Mà \[OH\bot AB\]

\[\Rightarrow AB=2.HB=2.4=8(cm)\]

Bài toán 2: Cho hình thang vuông ABCD \[(\widehat{A}=\widehat{D}=90{}^\circ )\], AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.

a, Tính độ dài AD;

b, Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đưuòngn tròn có đường kính BC.

Giải

Từ B vẽ \[BH\bot CD\,\,(H\in CD)\]

Ta có DH = AB = 4cm => CH = 9 – 4 = 5cm

Theo đinhj lí Pytago có : \[HB=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=12(cm)\]

=> AD = 12cm.

b, Gọi I là trung điểm của BC

Đường tròn đường kính BC có bán kính \[R=\frac{1}{2}BC=6,5(cm)\]

Kẻ \[IK\bot AD\]. Khoảng cách từ I đến AD bằng IK, ta có:

Do d = R nên đường tròn (I) tiếp xúc với AD.

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a, Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn ( gọi tâm của nó là O).

b, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAB = 30°. Trên tia đối của BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng :

a, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O);

b, \[M{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}\].

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a, Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b, Tính độ dài HE.

Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại điểm C.

a, Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b, Cho bán kính của dường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC?

Bài 5: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a, Tứ giác OCAB là hình gì ? Tại sao?

b, Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E.

c, Tính độ dài BE theo R.

Bài 6 : Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AB, AC ( B,C là các tiếp điểm ) và đường kính BOD của đường tròn (O). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt AC tại E. Chứng minh:

a, \[\Delta ABO=\Delta ACO\];

b, OE là tia phân giác của COD;

c, ED là tiếp tuyến của (O).