Căn bậc hai số học
I . Lí thuyết :
1 . Căn bậc hai số học:
- Định nghĩa: Với số a dương, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
.png)
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm còn được gọi là phép khai phương ( gọi tắt là khai phương ).
2 . So sánh các căn bậc hai số học:
Định lí: Với các số a, b không âm. Ta có a < b \[\Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}\]
3 . Căn thức bậc hai: Với A là biểu thức đại số.
\[\sqrt{A}\] xác định ( hay có nghĩa ) \[\Leftrightarrow A\ge 0\]
\[\frac{B}{\sqrt{A}}\] xác định ( hay có nghĩa ) \[\Leftrightarrow A>0\]
4 . Hằng đẳng thức:
Định lí : Với mọi số a, ta có \[\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\].
Từ định lí trên, với A là biểu thức, ta có :.png)
5 . Kiến thức nhắc lại và bổ sung:
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
II . Bài tập ví dụ:
Bài toán 1: Tính:
\[a,\sqrt{64}-\sqrt{49}-\sqrt{81};\]
\[b,2\sqrt{16}-3\sqrt{25}+4\sqrt{{{(-7)}^{2}}};\]
\[c,\frac{3}{4}\sqrt{256}-\sqrt{625}-\frac{1}{2}\sqrt{324}\].
Giải
\[a,\sqrt{64}-\sqrt{49}-\sqrt{81}=8-7-9=-8\]
\[b,2\sqrt{16}-3\sqrt{25}+4\sqrt{{{(-7)}^{2}}}=2.4-3.5+4.7=8-15+28=21\]
\[c,\frac{3}{4}\sqrt{256}-\sqrt{625}-\frac{1}{2}\sqrt{324}=\frac{3}{4}.16-25-\frac{1}{2}.18=12-25-9=-22.\]
Bài toán 2: So sánh:
\[a,7\]và \[\sqrt{37}+1;\]
\[b,\sqrt{17}+\sqrt{50}-1\] và \[\sqrt{99};\]
\[c,\frac{30-3\sqrt{26}}{5}\] và \[\sqrt{10.}\]
Giải
\[a,\sqrt{37}+1>\sqrt{36}+1=6+1=7\]
\[b,\sqrt{17}+\sqrt{50}-1>\sqrt{16}+\sqrt{49}-1=4+7-1=10=\sqrt{100}>\sqrt{99}\]
.png)
Bài toán 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa :
\[a,\sqrt{3x+6};\]
.png)
\[c,\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}.\]
Giải
\[a,\sqrt{3x+6}\]có nghĩa \[\Leftrightarrow 3x+6\ge 0\Leftrightarrow 3x\ge -6\Leftrightarrow x\ge -2.\]
.png)
\[c,\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}={{(x+1)}^{2}}+1>0\]
Vậy \[\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}\]luôn có nghĩa với mọi x.
Bài toán 4: Rút gọn các biểu thức sau :
\[a,\sqrt{2{{(\sqrt{2}-3)}^{2}}};\]
\[b,\sqrt{{{(5-2\sqrt{6})}^{2}}};\]
\[c,3\sqrt{{{a}^{2}}-4a+4}\,\,\,\,(a\ge 2);\]
\[d,2\sqrt{9{{a}^{2}}+12a+4}\,\,\,(a<\frac{-2}{3}).\]
Giải
\[a,3-2\sqrt{2};\]
\[b,5-2\sqrt{6};\]
\[c,3\left| a-2 \right|=3(a-2)\] vì \[a\ge 2\] nên \[a-2\ge 0;\]
\[d,-2(3a+2).\]
Bài toán 5: Chứng minh rằng :
\[a,{{(\sqrt{3}-2)}^{2}}=7-4\sqrt{3};\]
\[b,\sqrt{17-12\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}.\]
Giải
\[a,{{(\sqrt{3}-2)}^{2}}={{(\sqrt{3})}^{2}}-2.\sqrt{3}.2+{{2}^{2}}=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3};\]
\[b,\sqrt{17-12\sqrt{2}}={{3}^{2}}-2.3.2\sqrt{2}+{{(2\sqrt{2})}^{2}}={{(3-2\sqrt{2})}^{2}}\]
\[\Rightarrow \sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{{{(3-2\sqrt{2})}^{2}}}=\left| 3-2\sqrt{2} \right|=3-2\sqrt{2}\,\,(3-2\sqrt{2}>0)\].
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Giải các phương trình sau:
\[a,2{{x}^{2}}-6=0;\]
\[b,{{x}^{2}}-2\sqrt{5}+5=0.\]
Bài 2: Tìm x, biết :
\[a,\sqrt{4{{x}^{2}}}=8;\]
\[b,\sqrt{16{{x}^{2}}}=\left| -20 \right|;\]
\[c,\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=2;\]
\[d,\sqrt{25{{x}^{2}}-10x+1}=4x-9.\]
Bài 3:a, Chứng minh rằng \[{{n}^{3}}\], ( với n ϵ N*) là một số tự nhiên.
.png)
Bài 4:Cho x, y ϵ Q, x \[\ne \] 0, y \[\ne \] 0 thỏa mãn \[{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=2{{x}^{2}}{{y}^{2}}\]. Chứng minh rằng .png)
là một số hữu tỉ.
Bài 5: Chứng minh rằng : \[\sqrt{(ab-cd)(bc-da)(ca-bd)}\] là số hữu tỉ trong đó a, b, c, d là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện :
a + b + c + d = 0
Bài 6: Tính tổng 2008 chữ số thập phân đầu tiên của số .png)
Bài 7: Giải phương trình : \[{{(2x-1)}^{2}}=12\sqrt{{{x}^{2}}-x-2}+1\].
Bài 8: Tìm giá trị của x, y để biểu thức
\[B=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+2{{y}^{2}}+4y+11}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3{{y}^{2}}+6y+4}\]
Đạt giá trị nhỏ nhất.
