Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
I . Lí thuyết:
Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:
- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;
- Phép khai phương một tích, một thương;
- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;
- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;
- Phép trục căn thức ở mẫu.
Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
II . Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
\[a,\frac{3}{2}\sqrt{32}-\frac{2}{5}\sqrt{50}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}};\]
\[b,\sqrt{20}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}-\sqrt{45})(15\sqrt{2}+\sqrt{5}).\]
Giải
a, \[6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{15}{4}\sqrt{2}\]
b, \[(15\sqrt{2}-\sqrt{5})(15\sqrt{2}+\sqrt{5})=445\]
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức sau :
\[3x-1-\sqrt{1-6x+9{{x}^{2}}}\] với \[x>\frac{1}{3}\].
Giải
\[3x-1-\left| 1-3x \right|=3x-1-(3x-1)\] = 0 ( vì \[x>\frac{1}{3}\] nên 1 – 3x <0 )
Ví dụ 3: Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}+\frac{x-1}{2x-\sqrt{x}-1}.\left( \frac{2x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}-\frac{x-\sqrt{x}}{x-1} \right).\]
a, Rút gọn A. Tính giá trị của A với \[x=7-4\sqrt{3}\].
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Giải
ĐK: \[x\ge 0;x\ne 1.\]
a, Đặt \[t=\sqrt{x}\Rightarrow {{t}^{2}}=x\]
\[A=\frac{t}{2t+1}+\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(2t+1)}.\left[ \frac{2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t}{(t+1)({{t}^{2}}-t+1)}-\frac{t(t-1)}{(t-1)(t+1)} \right]\]
\[=.....=\frac{{{t}^{2}}-t}{{{t}^{2}}-t+1}.\]
Thay \[x=7-4\sqrt{3}\] \[={{(\sqrt{3}-1)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{x}=\left| \sqrt{3}-1 \right|=\sqrt{3}-1\]
Lúc đó \[A=\frac{5-3\sqrt{3}}{6-3\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{3}.\]
b, \[A=1-\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}+1}.\]
Mà \[{{x}^{2}}-\sqrt{x}+1={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\Rightarrow A\ge 1-\frac{4}{3}=\frac{-1}{3}\]
Dấu “ = “ xảy ra \[\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\,\,\,(TM)\]
Vậy giá trị lớn nhất của A là \[-\frac{1}{3}\] ( tại \[x=\frac{1}{4}\]).
Ví dụ 4: Cho biểu thức \[P=\frac{3x+5\sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}-1\]
a, Rút gọn P. Tìm x để | P | = 2
b, Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Giải
a, ĐK : \[x\ge 0\,x\ne 1\]
\[P=\frac{3x+5\sqrt{x}-11}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+2}-1=....=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}\]
Do P > 0 nên | P | = 2
Vậy | P | = 2 \[\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+2}=2\Leftrightarrow 2\sqrt{x}+4=\sqrt{x}+7\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\,\,(TM).\]
b, \[P=1+\frac{5}{\sqrt{x}+2}\]. Do .png)
P ϵ Z nên P = 2 hay P = 3.
Nếu P = 2 thì X = 9
Nếu P = 3 thì \[3\sqrt{x}+6=\sqrt{x}+7\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\]
Để P đạt giá trị nguyên thì x ϵ {\[\frac{1}{4}\];9}.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Rút gọn biểu thức ( với a > 0, b > 0 )
a, \[\sqrt{ab}-2a\sqrt{\frac{b}{a}}-3b\sqrt{\frac{a}{b}}+ab\sqrt{\frac{1}{ab}};\]
b, \[5a\sqrt{a{{b}^{3}}}-3\sqrt{25{{a}^{3}}{{b}^{3}}}-2b\sqrt{9{{a}^{2}}b}-7{{a}^{2}}{{b}^{2}}\sqrt{\frac{1}{ab}}\].
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau :
a, \[{{\left( 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2}-3\sqrt{3} \right)}^{2}};\]
b, \[\left( 3\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{2}}-2\sqrt{18}+3\sqrt{50} \right):\left( \frac{1}{2}\sqrt{24,5}-\sqrt{4,5}+\frac{3}{4}\sqrt{12,5} \right);\]
c, \[\frac{2\sqrt{24}-\sqrt{120}}{4\sqrt{5}-8}+\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}}.\]
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức sau:
a, \[\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\,\] với a \[\ge \] 0, b \[\ge \] 0 và a \[\ne \] b .
b, \[\left( 3+\frac{a-4\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}} \right)\left( 3+\frac{a-5\sqrt{a}}{\sqrt{a}-5} \right)\,\,\,\,\,\,\]Với a \[\ne \] 16 , a \[\ne \] 25, a \[\ge \] 0
Bài 4 : Tìm x biết :
\[\sqrt{4x+4}-\sqrt{25x+25}+\sqrt{16x+16}=3\]
Bài 5 : Tính giá trị của biểu thức sau :
\[\sqrt{15{{a}^{2}}-8a\sqrt{15}+16}\,\,\] Với a = \[\,\sqrt{\frac{5}{3}}-\sqrt{\frac{3}{5}}\].
