Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

I . Lí thuyết:

1 . Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :

Với hai biểu thức A, B mà \[B\ge 0\,\] thì \[\sqrt{{{A}^{2}}B}=\left| A \right|\sqrt{B}\], tức là:

- Nếu \[A\ge 0\] và \[B\ge 0\,\]thì : \[\sqrt{{{A}^{2}}B}=A\sqrt{B}\];

- Nếu A > 0 và \[B\ge 0\,\]thì : \[\sqrt{{{A}^{2}}B}=-A\sqrt{B}\].

2 . Đưa thừa số vào trong dấu căn:

- Nếu \[A\ge 0\] và \[B\ge 0\,\]thì \[A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}B}\];

- Nếu A < 0 và \[B\ge 0\,\]thì \[A\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}B}\].

3 . Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Với hai biểu thức A, B mà A,B \[\ge \] 0 và \[B\ne 0\], ta có :

4 . Trục căn thức ở mẫu :

a, Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có :

b, Với các biểu thức A, B, C mà A \[\ge \] 0 và \[A\ne {{B}^{2}}\], ta có :

c, Với các biểu thức A, B, C mà \[A\ge 0,B\ge 0\,\]và \[A\ne B\], ta có:

Lưu ý: Giả sử A là biểu thức vô tỉ. Ta gọi biểu thức liên hợp của A là B, B khác không thỏa mãn tích AB là một số hữu tỉ ( không chứa căn thức). Khi đó biểu thức A cũng là biểu thức liên hợp của biểu thức B. Biểu thức liên hợp không duy nhất, nhưng ta sẽ cố gắng tìm biểu thức đơn giản.

II . Bài toán ví dụ :

Ví dụ 1 : Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :

\[a,\sqrt{(-7)(-14){{a}^{4}}{{b}^{2}}}\,\,(b>0)\];

Giải

\[a,\sqrt{(-7)(-14){{a}^{4}}{{b}^{2}}}\,=\sqrt{{{7}^{2}}.2.{{({{a}^{2}})}^{2}}{{b}^{2}}}=7\left| {{a}^{2}} \right|.\left| b \right|\sqrt{2}=7{{a}^{2}}b\sqrt{2}\,\,\,(b>0)\]

Ví dụ 2 : Khử mẫu của biểu thức lấy căn :

Giải

Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu :

\[a,\frac{7-6\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2}};\]

\[b,\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4};\]

\[c,\frac{2x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}(x<-3;x>3).\]

Giải

\[b,\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)+(2+\sqrt{6}+\sqrt{8})}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)+\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)}\]\[=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)(1+\sqrt{2})}=\frac{1.(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\]

\[c,\frac{2x-6}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}=\frac{(2x-6).\sqrt{{{x}^{2}}-9}}{(\sqrt{{{x}^{2}}-9})}=\frac{2.(x-3).\sqrt{{{x}^{2}}-9}}{(x-3)(x+3)}=\frac{2\sqrt{{{x}^{2}}-9}}{x+3}\] ( vì x < -3 hay x >3).

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Đưa thừa số vào dấu căn: \[(x-1)\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,\] ( với \[x>1\])

Bài 2: So sánh hai số ( không dùng máy tính ):

a, \[\sqrt{a-b}\] và \[\sqrt{a}-\sqrt{b}\] ( với a > b > 0);

b, \[\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{2}\] và 0;

c, \[\sqrt{2009}-\sqrt{2008}\] và \[\sqrt{2007}-\sqrt{2006}\].

Bài 3: a, Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần :

\[\sqrt{69}\] ; \[3\sqrt{7}\]; \[6\sqrt{2}\] ; \[2\sqrt{17}\]; \[5\sqrt{3}\].

b, So sánh tổng \[S=\sqrt{1.2007}+\sqrt{3.2006}+\sqrt{5.2003}+...+\sqrt{2007.1}\] và \[{{1004}^{2}}\]

Bài 4: Giải phương trình: