Căn bậc ba
I . Lí thuyết :
1 . Định nghĩa : căn bậc ba của một số a là một số x sao cho \[{{x}^{3}}=a\]. Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.
Nhận xét:
- Căn bậc ba của một số dương là một số dương;
- Căn bậc ba của một số âm là một số âm;
- Căn bậc ba của số 0 là số 0;
- Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \[\sqrt[3]{a}\].
Vậy \[\sqrt[3]{a}=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}=a\].
2 . Tính chất :
- Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba: nếu a < b thì \[\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\].
- Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương căn bậc ba :
Với A, B bất kì thì \[\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{AB}\]
- Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương căn bậc ba:
Với A, B bất kì , \[B\ne 0\] thì \[\sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}.\]
II . Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Tính :
\[a,\sqrt[3]{343};\]
\[b,\sqrt[3]{-1000};\]
\[c,\sqrt[3]{-0,512};\]
\[d,\sqrt[3]{1,331};\]
\[e,\sqrt[3]{-0,064};\]
\[f,\sqrt[3]{-0,729}.\]
Giải
a, 7; b, -10; c,-0,8; d,1,1; e,-0,4; f,-0,9.
Ví dụ 2 :Chứng minh rằng nếu \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\] và \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\]
Thì \[\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\]
Giải
Đặt \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\]= t
Ta có : \[\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{t\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)}=\sqrt[3]{t}\,(1)\]
Ta lại có : \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\]= t \[\Rightarrow x\sqrt[3]{a}=y\sqrt[3]{b}=z\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{t}\]
\[\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{t}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)=\sqrt[3]{t}\,\,\,(2)\]
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3 : a, Đặt \[x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\]
Chứng minh rằng với mọi \[x>\frac{1}{8}\]thì x là số nguyên dương.
b, Giải phương trình \[\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\].
Giải
a, Xét \[{{x}^{3}}=2a+3x.\sqrt[3]{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a+1}{3} \right)}^{2}}.\left( \frac{8a-1}{3} \right)}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+3x.\frac{\sqrt[3]{{{(1-2a)}^{3}}}}{3}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+x.(1-2a)\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+2a)=0\Leftrightarrow x=1\]
Vì \[{{x}^{2}}+x+2a={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2a-\frac{1}{4}={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8a-1}{4}>0\,\,\,\,\,\,\left( a>\frac{1}{8} \right)\]
Vậy x = 1 là số nguyên.
b, ĐKXĐ : \[x\le 12\]. Đặt \[a=\sqrt[3]{x+24};b=\sqrt[3]{12-x}\]
Ta có : a + b = 6 và \[{{a}^{3}}+{{b}^{2}}=36\]
Do đó \[{{a}^{3}}+{{\left( 6-a \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-12a=0\]
.png)
\[S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-24;-88;3\}\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức \[A={{\left( 3{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+2 \right)}^{1998}}\]
Với \[x=\frac{(\sqrt{5}+2).\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}\]
Bài 2: Cho \[x=\frac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}}\] và \[y=\frac{6}{3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}}\]. Tính giá trị của \[A=x{{y}^{3}}-{{x}^{3}}y\]
Bài 3: Tính : \[S=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})+\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\].
Bài 4: Tính:
\[a,\sqrt[3]{15\sqrt{3}-26};\]
\[b,\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}-\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}.\]
Bài 5: So sánh :
a, \[2\sqrt[3]{3}\] và \[3\sqrt[3]{2}\];
b, \[4\sqrt[3]{1730}\,\] và 48.
Bài 6: Tìm tập hoợp các giá trị của x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số :
a, \[\sqrt[3]{x}\,\,\le -2\];
b, \[\sqrt[3]{x}\,\,>5\].
Bài 7: Tính:
a, \[\sqrt[3]{36}.\sqrt[3]{162}\];
b, \[\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{128}.\sqrt[3]{4}\].
