Hàm số bậc nhất
I . Lí thuyết:
1 . Khái niệm hàm só :
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, x được gọi là biến số.
- Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc cho bằng công thức.
Chú ý : Khi hàm số y = f(x) được cho bằng công thức ta hiểu rằng biến số x chỉ nhận những giá trị làm cho công thức có nghĩa.
Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f(x).
Khi cho x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
2 . Đồ thị của hàm số :
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, trục nằm ngang Ox được gọi là trục hoành, trục thẳng đứng Oy được gọi là trục tung, điểm O được gọi là gốc tọa độ.
- Trên mặt phẳng toa độ Oxy, mỗi cặp giá trị tương ứng biến số x và hàm số y kí hiệu (x;y) được biểu diễn bởi một điểm, Trong đó x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm biểu diễn.
- Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng toạn độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
3 . Hàm số đồng biến, nghịch biến :
Với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] bất kì thuộc R, ta có :
Nếu \[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\] mà .png)
Nếu \[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\] mà \[f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})\] thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R.
4 . Định nghĩa:
- Hàm số bậc nhât là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số đã cho và \[a\ne 0\].
5 . Tính chất :
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất sau :
a, Đồng biến trên R khi a > 0 ;
b, Nghịch biến trên R khi a < 0.
II . Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Cho hai hàm số f(x) = 5x – 3 và g(x) = -4x +1. Tính :
a, \[f(-2)-g\left( \frac{1}{2} \right)\];
b, \[2{{f}^{2}}(-3)-3{{g}^{3}}(-2)\].
Giải
\[a,f(-2)-g\left( \frac{1}{2} \right)=\text{ }\!\![\!\!\text{ }5(-2)-3]-\left[ -4\left( \frac{1}{2} \right)+1 \right]=-13+1=-12\]
\[b,648-2187=-1539\]
Ví dụ 2: Với những giá trị nào của m thì hàm số sau đây là hàm số bậc nhất ?
\[a,y=\sqrt{\frac{3-4m}{2}}\ne 0\,\,hay\,\,\,\sqrt{3-4m}\ne 0\]
\[b,y=\frac{3}{{{m}^{2}}-4}x-\frac{1}{2}\]
Giải
\[a,\sqrt{\frac{3-4m}{2}}\ne 0\,\,hay\sqrt{3-4m}\ne 0\]
\[\sqrt{3-4m}\ne 0\,\,\,khi\,\,3-4m>0\,\,\,\,hay\,\,m<\frac{3}{4}\]
Vậy khi \[m<\frac{3}{4}\]thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b, \[m\ne 2\].
Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+6\] trong đoạn [0;2].
Giải
Hàm số đã cho có tập xác định D = R.
Với mọi \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R:{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\], ta có :
\[f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=-({{x}_{1}}-{{x}_{2}})(x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+1)\]
\[=-\frac{1}{2}({{x}_{1}}-{{x}_{2}})\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-1)}^{2}}+{{({{x}_{2}}-1)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\]
\[\Rightarrow \frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=-\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}} \right]<0\]
=> f(x) nghịch biến trên R, nên f(x) cũng nghịch biến [0;2]
Vậy \[0\le x\le 2\Rightarrow f(0)\ge f(x)\ge f(2)\Rightarrow 6\ge f(x)\ge 0.\]
Suy ra : GTLN của f(x) bằng 6 ( tại x = 0 và x thuộc [0;2])
GTNN của f(x) bằng 0 ( tại x = 2 và x thuộc [0;2]).
Ví dụ 4 : Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P=\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\left( {{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
Giải
\[P={{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+2\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
\[1=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow 0<{{x}^{2}}{{y}^{2}}\le \frac{1}{16}\]
Đặt .png)
Với mọi \[{{t}_{1}},{{t}_{2}}\in \left( 0;\frac{1}{16} \right],{{t}_{1}}\ne {{t}_{2}}\], ta có :
\[\frac{f({{t}_{1}})-f({{t}_{2}})}{{{t}_{1}}-{{t}_{2}}}=\left[ \left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)\left( \frac{1}{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}-1 \right) \right]:({{t}_{1}}-{{t}_{2}})=\frac{{{t}_{1}}{{t}_{2}}-1}{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}<0\]
=> f(t) ngịch biến trên \[\left( 0;\frac{1}{16} \right]\]. Vậy \[0
\[\Rightarrow f(t)\ge f\left( \frac{1}{16} \right)=18\frac{1}{16}\]
Suy ra GTNN của P là \[18\frac{1}{16}\] (tại x = y = \[\frac{1}{2}\])
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Tính f(2), nếu với mọi x, ta đều có : \[f(x)+3f\left( \frac{1}{x} \right)={{x}^{2}}\]
Đáp án :\[f(2)=-\frac{13}{32}\]
Bài 2 :Cho hàm số f(n) xác định trên N thỏa mãn : f(n) = n – 3 nếu \[n\ge 1000\]
f(n) = \[f[f(n+5)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\] nếu n < 1000
Chứng minh rằng : \[\frac{f(30)+f(4)}{2}+f(95)=1995.\]
Bài 3: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số
\[a,y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x};\]
\[b,y=\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}.\]
Đáp số : a, D = [-1;1]
\[\sqrt{2}\le y\le 2\]
b, D = [1;+∞)
f(D) = [1;+∞)
Bài 4 : Cho hàm số \[y=(4-\sqrt{3})x+2\]
a, Tìm các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:
\[0\,\,;\,\,2\,\,;\,\,\sqrt{3}\,\,;\,\,4+\sqrt{3}\,\,;\,\,4-\sqrt{3}\]
b, Tìm các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:
\[-24\,\,;\,\,2\,\,;\,\,15\,\,;\,\,6-\sqrt{3}\,\,;\,\,6+\sqrt{3}\]
Bài 5: Cho hàm số bậc nhất \[y=mx+5+2x-2\]
a, Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm số đồng biến.
b, Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm số nghịch biến.
c, Tìm giá trị của m để hàm số y là hàm hằng.
Bài 6: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
\[a,y=-1,2x;\]
\[b,y=\frac{2x-5}{4};\]
\[c,y=3-2{{x}^{2}};\]
\[d,y=2(x+3)-4;\]
\[e,y=(\sqrt{3}-2)x-1.\]
Bài 7: a, Cho hàm số \[y=f(x)=\frac{3}{4}x-2\] với \[x\in R\]. Chứng minh hàm số đồng biến trên R.
b, Cho hàm số \[y=f(x)=-\frac{1}{2}x+4\] với \[x\in R\]. Chứng minh hàm số nghịch biến trên R.
