CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG
A. Lý thuyết
- Phân tích đa thức bên trong căn thành hằng đẳng thức
- Lấy dấu giá trị tuyệt đối trong căn. Phá trị tuyệt đối giải bình thường
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1.Tính \[B=\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{3}\]
Giải.
Có \[B=\left| 2-\sqrt{3} \right|+\sqrt{3}=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\]
Câu 2. Rút gọn biểu thức sau \[N=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\]
Giải
\[N=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}\]\[=\sqrt{{{(\sqrt{5}+1)}^{2}}}-\sqrt{{{(\sqrt{5}-1)}^{2}}}=|\sqrt{5}+1|-|\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1=2\]
Câu 3.Rút gọn các biểu thức:\[A=\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{20}+\frac{1}{2}\sqrt{8}\]
Giải
\[A=\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{20}+\frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{{{(\sqrt{5}-\sqrt{2})}^{2}}}+2\sqrt{5}+\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\]\[=|\sqrt{5}-\sqrt{2}|+2\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}+2\sqrt{5}+\sqrt{2}(Do\text{ }\sqrt{5}-\sqrt{2}>0)=3\sqrt{5}\]
Câu 4. Rút gọn biểu thức sau :\[B=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})\sqrt{6-3\sqrt{3}}\]
Giải
\[B=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})\sqrt{6-3\sqrt{3}}=(3+\sqrt{3})\sqrt{12-6\sqrt{3}}=(3+\sqrt{3})|3-\sqrt{3}|=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3=6\]
Câu 5. Rút gọn biểu thức sau \[B=(\sqrt{5}-1)\sqrt{6+2\sqrt{5}}\]
Giải
\[B=(\sqrt{5}-1)\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}+1 \right)=4\]
II. Bài tập tự luyện
Câu 1. Rút gọn biểu thức :\[B=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})\sqrt{6-3\sqrt{3}}\]
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức: \[P=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{1-\sqrt{3}}\]
Câu 3.Rút gọn biểu thức: \[A=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}\]
Câu 4. Rút gọn biểu thức : \[B=21{{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}} \right)}^{2}}-6{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3+\sqrt{5}} \right)}^{2}}\]
Câu 5 .Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$
Câu 6. Rút gọn biểu thức :\[B=\frac{1}{3+\sqrt{7}}+\frac{1}{3-\sqrt{7}}\]
Câu 7. Rút gọn biểu thức :$P=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}-2\sqrt{5}$
Câu 8. Rút gọn biểu thức : \[P=\frac{1}{\sqrt{5}-2}+\frac{1}{\sqrt{5}+2}\]
Câu 9. Rút gọn biểu thức sau \[B=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\]
Câu 10. Rút gọn biểu thức :\[P=(\sqrt{3}-1)\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\]
Câu 11. Rút gọn biểu thức :\[B=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+\sqrt{54}\]
Câu 12: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: \[A=\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{\sqrt{8}-\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}\]
Câu 13. Rút gọn biểu thức: $P=\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{27}+\frac{3}{\sqrt{3}}$
Câu 14. Rút gọn biểu thức :\[B=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+\sqrt{54}\]
Câu 15. Rút gọn biểu thức \[A=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\]
Câu 16. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức: \[A=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)-\frac{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-2}\]
Câu 17. Rút gọn biểu thức sau: \[A=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}+1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+4}{5-2\sqrt{3}}}\]
Hướng dẫn giải
Câu 1. \[B=(3\sqrt{2}+\sqrt{6})\sqrt{6-3\sqrt{3}}=(3+\sqrt{3})\sqrt{12-6\sqrt{3}}=(3+\sqrt{3})|3-\sqrt{3}|=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3=6\]
Câu 2. \[P=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\left| \sqrt{3}-1 \right|}{1-\sqrt{3}}=1\]
Câu 3. \[A=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}}+\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}\]\[=\frac{1}{2}\left( \sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\left( \left| \sqrt{3}+1 \right|-\left| \sqrt{3}-1 \right| \right)=1\]
Câu 4. \[B=\frac{21}{2}{{\left( \sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}} \right)}^{2}}-3{{\left( \sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}} \right)}^{2}}-15\sqrt{15}\]\[=\frac{21}{2}{{\left( \sqrt{3}+1+\sqrt{5}-1 \right)}^{2}}-3{{\left( \sqrt{3}-1+\sqrt{5}+1 \right)}^{2}}-15\sqrt{15}=\frac{15}{2}{{\left( \sqrt{3}+\sqrt{5} \right)}^{2}}-15\sqrt{15}=60\]
Câu 5 .$A=\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3-1}+2-\sqrt{3}=\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=2$
Câu 6. \[B=\frac{1}{3+\sqrt{7}}+\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{6}{{{3}^{2}}-{{\sqrt{7}}^{2}}}=\frac{6}{9-7}=3\]
Câu 7. $=\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-10+4\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}=\frac{5\sqrt{5}-10}{\sqrt{5}-2}=\frac{5(\sqrt{5}-2)}{\sqrt{5}-2}=5$
Câu 8. \[P=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}\]
Câu 9. \[B=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\]
Câu 10. \[P=(\sqrt{3}-1)\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=(\sqrt{3}-1)\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{3-1}{2}=1\]
Câu 11. \[B=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+\sqrt{54}=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}-\sqrt{7.4}+\sqrt{9.6}=\frac{2\sqrt{7}+2\sqrt{6}}{7-6}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}\]\[=2\sqrt{7}+2\sqrt{6}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\]
Câu 12: \[A=\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{\sqrt{8}-\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}-\frac{\sqrt{2}\left( 2-\sqrt{5} \right)}{2-\sqrt{5}}=-1\]
Câu 13. $P=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{3-1}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}=1-\sqrt{3}$
Câu 14. \[B=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+\sqrt{54}=\frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}-\sqrt{7.4}+\sqrt{9.6}\]\[=\frac{2\sqrt{7}+2\sqrt{6}}{7-6}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}=2\sqrt{7}+2\sqrt{6}-2\sqrt{7}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\]
Câu 15. \[A=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\]
\[=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\sqrt{{{(2-\sqrt{3})}^{2}}}\]\[=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+2-\sqrt{3}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}+2-\sqrt{3}=4\]
Câu 16. Ta có \[A={{(\sqrt{5})}^{2}}-{{2}^{2}}-\frac{\sqrt{{{(2-\sqrt{3})}^{2}}}}{\sqrt{3}-2}=5-4-\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=1-(-1)=2\]
Câu 17.
\[A=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}+1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+4}{5-2\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{\left( 3\sqrt{3}-4 \right)\left( 2\sqrt{3}-1 \right)}{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}-1}}-\sqrt{\frac{\left( \sqrt{3}+4 \right)\left( 5+2\sqrt{3} \right)}{{{5}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}}\] \[=\sqrt{\frac{22-11\sqrt{3}}{11}}-\sqrt{\frac{26+13\sqrt{3}}{13}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}\]\[=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| \sqrt{3}-1 \right|-\sqrt{3}-1 \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.(-2)=-\sqrt{2}\]
