Đại Cương Về Phương Trình

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A/ LÝ THUYẾT

I/ Phương trình một ẩn

+ Phương trình một ẩn số x là mệnh đề chứa biến có dạng:

$f\left( x \right)=g\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$

Trong đó $f(x),g\left( x \right)$ là các biểu thức cùng biến số x. Ta gọi $f\left( x \right)$ là vế trái, $g\left( x \right)$ là vế phải của phương trình.

+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số ${{x}_{0}}$ thõa mãn điều kiện xác định và $f\left( {{x}_{0}} \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)$ là mệnh đề đúng thì ta nói số ${{x}_{0}}$ là nghiệm đúng của phương trình $\left( 1 \right)$ hay ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ . Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm.

II/ Phương trình tương đương

Hai phương trình:

${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$

${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ $\left( 2 \right)$

Được gọi là tương đương đương, kí hiệu ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ nếu các tập nghiệm của $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ bằng nhau.

Định lí:

+ Nếu $h\left( x \right)$ là biểu thức thõa mãn điều kiện xác định của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ thì  $f\left( x \right)+h\left( x \right)=g\left( x \right)+h\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$

+ Nếu $h\left( x \right)$ thõa mãn điều kiện xác định và khác 0 với mọi x thõa mãn điều kiện xác định thì $f\left( x \right).h\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$

$\frac{f\left( x \right)}{h\left( x \right)}=\frac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$

III/ Phương trình hệ quả

Phương tình ${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ là phương trình hệ quả của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ , kí hiệu ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$

Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương tình thứ hai.

B/ VÍ DỤ

VD 1: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{-x}$

A.0

B.1

C.2

D.3

Giải

Điều kiện xác định

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Đáp án B

VD 2: Số nghiệm của phương trình $\left| x \right|=-x$

A.0

B.1

C.2

C.Vô số

Giải

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm

Đáp án D

VD 3: Số nghiệm của phương trình $\left| x-1 \right|=x-1$

A.0

B.1

C.2

D.Vô số

Giải

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm

Đáp án D

VD 4: Tìm tập nghiệm của phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-2}=0$

A.$\varnothing $

B.$\left\{ 1 \right\}$

C.$\left\{ 2 \right\}$

D.$\left\{ 1;2 \right\}$

Giải

Điều kiện xác định: $x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$

Đáp án D

VD 5: Tập nghiệm của phương trình $\frac{x-4}{-{{x}^{2}}+4x-3}=\frac{3}{{{x}^{2}}-4x+3}-1$ là

A.$\left\{ 4 \right\}$

B.$\left\{ 1 \right\}$

C.$\left\{ 1;4 \right\}$

D.$\left\{ 3 \right\}$

Giải

Điều kiện xác định:

${{x}^{2}}-4x+3\ne 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\ne 0$

$\Leftrightarrow x\ne 1$ và $x\ne 3$

$PT\Leftrightarrow \frac{3}{{{x}^{2}}-4x+3}+\frac{x-4}{{{x}^{2}}-4x+3}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{{{x}^{2}}-4x+3}=1\Leftrightarrow x-1={{x}^{2}}-4x+3$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)=0$

$\Leftrightarrow x=1$(loại) hoặc $x=4$

Đáp án B

C/ BÀI TẬP

Bài 1: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}=\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)$

A.0

B.1

C.2

D.Vô số

Bài 2: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+6x+9}+\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)=0$

A.0

B.1

C.2

D.Vô nghiệm

Bài 3: Điều kiện của phương trình $\frac{2{{x}^{2}}+x\sqrt{2x-3}}{x+2}=3+x-\sqrt{7-x}$

A.$x\ne 2$

B.$x\le \frac{7}{4}$

C.$x\ge \frac{3}{2}$

D.$\frac{3}{2}\le x\le \frac{7}{4}$

Bài 4: Tập nghiệm của phương trình $2{{x}^{2}}-1+\sqrt{2x-1}=7+\sqrt{2x-1}$ là

A.$\left\{ -2 \right\}$

B.$\left\{ 2 \right\}$

C.$\left\{ -2;2 \right\}$

D.$\left\{ \frac{1}{2} \right\}$

Bài 5: Tập nghiệm của phương trình $\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{2x-7}$ là

A.\[\left\{ -1 \right\}\]

B.\[\left\{ 1 \right\}\]

C.\[\left\{ 2 \right\}\]

D.$\varnothing $

Bài 6: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương

$x+2=0$ $\left( 1 \right)$ và $\frac{mx}{x+3}+3m-1=0$ $\left( 2 \right)$

A.$m=-2$

B.$m=-1$

C.$m=1$

D.$m=\pm 3$

Bài 7: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương

${{x}^{2}}-9=0$ $\left( 1 \right)$ và $2{{x}^{2}}+\left( m-5 \right)x-3\left( m+1 \right)=0$ $\left( 2 \right)$

A.$m=-2$

B.$m=-1$

-C.$m=5$

D.$m=\pm 3$

Bài 8: Điều kiện của phương trình $\frac{\sqrt{x-2}}{{{x}^{2}}+x-2}=\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}$

A.$x\ne 1$

B.$x>2$

C.$x\ne -2$

D.$x\ne 1,x\ne -2$

Bài 9: Tìm các giá trị m để hai phương trình sau tương đương

$2x-1=0$ $\left( 1 \right)$ và $\frac{2mx}{x+1}+m-1=0$ $\left( 2 \right)$

A.$m=\frac{1}{2}$

B.$m=\frac{3}{5}$

C.$m=1$

D.$m=0$

Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương

${{x}^{2}}+3x-4=0$ $\left( 1 \right)$ và $2{{x}^{2}}+\left( 4m-6 \right)x-4\left( m-1 \right)=0$ $\left( 2 \right)$

A.$m=\frac{3}{2}$

B.$m=3$

C.$m=\frac{1}{2}$

D.$m=1$

 

 

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	D	D	B	D	C	C	B	B	B

Bài viết gợi ý: