Giới Hạn Của Dãy Số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A/ LÝ THUYẾT

I/ Định nghĩa giới hạn hữu hạn

+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u}_{n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí kiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$

+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn a khi n dần tới dương vô cực và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{u}_{n}}-a \right)=0$

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a$

II/ Định nghĩa giới hạn vô cực

+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn $+\infty$ khi n dần tới dương vô cực, nếu $({{u}_{n}})$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=+\infty$

+ Dãy số $({{u}_{n}})$ được gọi là có giới hạn $-\infty$ khi n dần tới dương vô cực, và $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty$

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty$

III/ Các giới hạn đặc biệt

1/ $\lim \frac{1}{n}=0$ ; $\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0$ ; $\lim {{n}^{k}}=+\infty$ (với k là số nguyên dương)

2/ $\lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\left| q \right|<1$ và $\lim {{q}^{n}}=+\infty$ nếu $\left| q \right|>1$

3/ $\lim c=c$ (c là một hằng số)

IV/ Định lý về giới hạn hữu hạn

1/ Nếu $\lim {{u}_{n}}=a$ và $\lim {{v}_{n}}=b$ thì:

+ $\lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b$

+ $\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b$

+ $\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=ab$

+ $\lim \frac{{{u}_{b}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}$ $(b\ne 0)$

2/ Nếu ${{u}_{n}}\ge 0$ với mọi n và $\lim {{u}_{n}}=a$ thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}$

V/ Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

+ $\lim {{u}_{n}}=a$ và $\lim {{v}_{n}}=+\infty$ thì $\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0$

+ $\lim {{u}_{n}}=+\infty$ và $\lim {{v}_{n}}=a>0$thì $\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=+\infty$

+ $\lim {{u}_{n}}=a>0$ , $\lim {{v}_{n}}=0$ và ${{v}_{n}}>0$ với mọi n thì $\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=+\infty$

VI/ Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhận lùi vô hạn là cấp số nhân thõa mãn $\left| q \right|<1$

+ Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n-1}}+{{u}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$

 B/ VÍ DỤ

VD 1: Cho dãy số ${{u}_{n}}=1+{{n}^{2}}-\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}$ . Tính $\lim {{u}_{n}}$ ?

A.0

B.1

C.$\frac{1}{2}$

D.2

Giải:

$\lim (1+{{n}^{2}}-\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1})=\lim \frac{{{(1+{{n}^{2}})}^{2}}-({{n}^{4}}+3n+1)}{\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}+({{n}^{2}}+1)}$

$=\lim \frac{2{{n}^{2}}-3n}{\sqrt{{{n}^{4}}+3n+1}+{{n}^{2}}+1}$

=$\lim \frac{{{n}^{2}}\left( 2-\frac{3}{n} \right)}{{{n}^{2}}\left( \sqrt{1+\frac{3}{{{n}^{3}}}+\frac{1}{{{n}^{4}}}}+1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=\frac{2}{1+1}=1$

Đáp án B

VD 2: Cho dãy số ${{a}_{n}}=\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}-n$ . Tính $\lim {{a}_{n}}$ ?

A.0

B.$\frac{1}{3}$

C.$\frac{1}{2}$

D.1

Giải:

$\lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}-n \right)=\lim \frac{{{n}^{3}}+1-{{n}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)}^{2}}+n\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}+{{n}^{2}}}=0$

Đáp án A

VD 3: Cho dãy số ${{a}_{n}}=\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+4n}$ . Tính $\lim {{a}_{n}}$ ?

A.2

B.-2

C.3

D.-3

Giải:

$\lim (\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+4n})$

$=\lim (\sqrt[3]{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1}-n)-\lim (\sqrt{{{n}^{2}}+4n}-n)$

$=\lim \frac{-3{{n}^{2}}}{3{{n}^{2}}}-\lim \frac{4n}{2n}=-1-2=-3$

Đáp án D

VD 4: Tìm $\lim {{a}_{n}}$ biết ${{a}_{n}}=\frac{{{4.3}^{n}}+{{7}^{n+1}}}{{{2.5}^{n}}+{{7}^{n}}}$

A.$\frac{11}{3}$

B.7

C.$\frac{5}{3}$

D.2

Giải:

Áp dụng: $\lim {{q}^{n}}=0$ khi $\left| q \right|<1$

$\lim \left( \frac{{{4.3}^{n}}+{{7}^{n+1}}}{{{2.5}^{n}}+{{7}^{n}}} \right)=\lim \frac{4.{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{n}}+7}{2.{{\left( \frac{5}{7} \right)}^{n}}+1}=7$

Đáp án B

VD 5: Tính $\lim \frac{1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{n}}}{1+b+{{b}^{2}}+...+{{b}^{n}}}$ biết rằng $\left| a \right|<1;\left| b \right|<1$

A.$\frac{b}{a}$

B.$\frac{1+b}{1+a}$

C.$\frac{1-b}{1-a}$

D.$\frac{1-a}{1-b}$

Giải:

 $\lim \frac{1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{n}}}{1+b+{{b}^{2}}+...+{{b}^{n}}}=\lim \frac{\frac{1(1-{{a}^{n}})}{1-a}}{\frac{1(1-{{b}^{n}})}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}$

Đáp án C

C/ BÀI TẬP

Bài 1: Tính $\lim \left( \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)} \right)$

A.0

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{3}{2}$

D.1

Bài 2: Tính $\lim \frac{{{2.1}^{2}}+{{3.2}^{2}}+...+(n+1){{n}^{2}}}{{{n}^{4}}}$

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{6}$

Bài 3: Tính $\lim \left( \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2} \right)$

A.$\frac{3}{2}$

B.1

C.-1

D.$-\frac{3}{2}$

Bài 4: Tính $\lim \left( \frac{n.\sin n!}{{{n}^{2}}+1} \right)$

A.1

B.$\frac{1}{2}$

C.-1

D.0

Bài 5: Tính $\lim \left( \frac{{{n}^{2}}-2\sqrt{n+1}.\cos n}{{{n}^{2}}+2n} \right)$

A.1

B.2

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{1}{4}$

Bài 6: Tính $\lim \frac{{{2}^{n}}{{.3}^{n}}-{{3}^{n}}{{.4}^{n}}+{{5}^{2n}}}{{{3}^{n}}{{.4}^{n}}-{{4}^{n}}{{.5}^{n}}+{{6}^{2n}}}$

A.0

B.1

C.2

D.$\frac{1}{2}$

Bài 7: Tính $\lim \left( {{n}^{4}}-2n.\sin 3n+1 \right)$

A.1

B.$-\infty$

C.$+\infty$

D.0

Bài 8: Tính $\lim \left( \sqrt{2{{n}^{2}}+2n-1}-\sqrt{2{{n}^{2}}-n-5} \right)$

A.$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{3\sqrt{2}}{5}$

D.$\frac{3\sqrt{2}}{10}$

Bài 9: Tính $\lim \frac{\sqrt[4]{{{n}^{8}}-4{{n}^{4}}+2n}}{{{n}^{2}}+3n+1}$

A.1

B.2

C.4

D.$\frac{4}{3}$

Bài 10: Giới hạn nào sau đây có giá trị bằng 2?

A.$\lim (2n-\cos n)$

B.$\lim \frac{4{{n}^{2}}-2n\cos 3n+2}{\sqrt{4{{n}^{4}}+2{{n}^{2}}+8}}$

C.$\lim ({{n}^{2}}+n-4\sqrt[3]{n})$

D.$\lim \frac{3{{n}^{2}}+n}{n+2}$

 

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	C	D	D	A	A	C	A	A	B

 

Bài viết gợi ý: