Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng :
- \[AB.AC=AH.BC\]
- \[A{{B}^{2}}=BH.BC;A{{C}^{2}}=CH.BC\]
- \[A{{H}^{2}}=HB.HC\]
- \[\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\]
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
- \[\vartriangle AHF\]đồng dạng với \[\vartriangle ABD\]
- \[\vartriangle ACF\]đồng dạng với \[\vartriangle ABE\]
- \[\text{AF}\text{.AB=AE}\text{.AC}\]
- \[\vartriangle AEF\]đồng dạng với \[\vartriangle ABC\]
- \[\vartriangle ADB\]đồng dạng với \[\vartriangle CDH\]
- \[\text{BH}\text{.BE+CH}\text{.CF=B}{{\text{C}}^{2}}\]
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo \[AC>BD\]. Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC. Chứng minh rằng:
- \[\vartriangle BCG\]đồng dạng với \[\vartriangle C\text{AF}\]
- \[\text{AB}\text{.AE+AD}\text{.AF}=A{{C}^{2}}\]
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Biết \[AB=6cm,AC=8cm\]. Từ B kẻ tia phân giác BE của góc ABC cắt AC tại E và cắt AD tahi F.
- Tính độ dài đoạn thẳng AB,AD
- Chứng minh \[A{{D}^{2}}=BD.DC\]
- Chứng minh \[\frac{DF}{FA}=\frac{AE}{EC}\]
Bài 5: Cho t5am giác ABC vuông tại A, \[AB=15cm,AC=20cm\], đường cao AH
- Tính độ dài BC, AH
- Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì ? Vì sao?
- Tính diện tích tứ giác ABCE.
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
- \[AF.AB=AH.AD\]
- \[\vartriangle AHB\]đồng dạng với \[\vartriangle \text{AFD}\]
- \[\vartriangle \text{AEF}\] đồng dạng với \[\vartriangle \text{ABC}\]
- \[\vartriangle H\text{EF}\]đồng dạng với \[\vartriangle \text{HCB}\]
- \[\text{BF}\text{.BA+CE}\text{.CA=B}{{\text{C}}^{2}}\]
- \[HE.HB=HF.HC\]
- Biết \[BD=2cm,DC=3cm,{{S}_{ABC}}=30c{{m}^{2}}\]. Tính BC;AD;HD và \[{{S}_{HBD}}\]?
Bài 7: Cho tam giác MNP vuông tại \[M\left( MP>MN \right)\]. Kẻ tia phân giác của góc N cắt PM tại I.
Từ P hạ đoạng thẳng PK vuông góc với tia phân giác NI (K thuộc NI)
- Chứng minh: \[\vartriangle MNI\]đồng dạng với \[\vartriangle KPI\]
- Chứng minh \[INP=IPK\]
- Cho \[MN=6cm,MP=8cm\]. Tính IM.
Bài 8: Cho tam giác ABC, \[BC=4cm\]. Trên BC lấy điểm M sao cho \[CM=1cm\]. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại N, Kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q. Biết \[{{S}_{QMC}}=3c{{m}^{2}}\].
- Tính \[{{S}_{ABC}}\]
- Tính \[{{S}_{NBM}}\]
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác BD cắt AH tại E.
- Chứng minh tam giác ADE cân
- Chứng minh \[AE.BD=BE.DC\]
- Từ D kẻ \[DK\bot BC\] tại K. Tứ giác ADKE là hình gì?
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A,M là trung điểm của BC,H là hình chiếu của M trên AC,K là hình chiếu của H trên BC.
- Chứng minh \[CH.KM=HK.MH\]
- Tính diện tích tam giác ABC biết \[MH=15cm,HK=12cm\]
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
- Tứ giác AIHK là hình gì ?
- Chứng minh \[\vartriangle AIK\]đồng dạng với \[\vartriangle ACB\]
- Tính \[{{S}_{AIK}}\]biết \[BC=10cm,AH=4cm\].
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ \[HE\bot AB,HF\bot AC\]. Chứng minh rằng: \[\vartriangle AEF\] đồng dạng với \[\vartriangle ACB\]
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BH,AH. Chứng minh rằng:
- \[\vartriangle ABH\]đồng dạng với \[\vartriangle CAH\]
- \[\vartriangle ABM\]đồng dạng với \[\vartriangle CAN\]
- \[AM\bot CN\]
- \[MN\bot AC\]
