Tổng của hai véc tơ

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a$ rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b$

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b$

b) Tính chất

+ Giao hoán : $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$

+ Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a$

2. Các quy tắc

Quy tắc ba điểm: Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm ${A_1},\,{A_2},\,...,\,{A_n}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} + \overrightarrow {{A_2}{A_3}} + ... + \overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}} = \overrightarrow {{A_1}{A_n}}$

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

Cho $I$ là trung điểm $AB$ và một điểm $M$ bất kì, khi đó:

+) $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

+) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$

Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra $I$ là trung điểm của $AB$

b) Trọng tâm

Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là một điểm bất kì, khi đó:

+) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

+) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$

Chứng minh:

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $D$ đối xứng $G$ qua $I$

Khi đó $BGCD$ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $GA = GD = 2GI$ nên $G$ là trung điểm của $AD$

Do đó $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$ (tính chất trung điểm)

Vậy $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$

Với $M$ là điểm bất kì thì:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}$

Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng $G$ là trọng tâm của tam giác.