Ứng dụng đường tròn lượng giác trong dao động điều hòa

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. LÝ THUYẾT

-Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều có một mối liên hệ, thể hiện như sau: Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.

-Đối với phương trình dao động điều hòa x=Acos(\[\omega t+\varphi \]) ta quy ước chọn trục x làm để tính pha của dao động và chiều tăng của pha tương ứng với chiều tăng của góc $\widehat{{{P}_{1}}OM}$trong chuyển động tròn đều ( tức là tăng ngược chiều quay của kim đồng hồ

II. PHƯƠNG PHÁP

Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều để tính.

Khi vật dao động điều hoà từ x₁ đến x₂  thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến N (chú ý x₁ và x₂ là hình chiếu vuông góc của M và N lên trục OX).

           Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x₁ đến vị trí x₂: Dùng vòng tròn lượng giác: Dt = $\frac{\Delta \varphi }{\omega }$.

Bước1: vẽ đường tròn (O,A) biễu diễn điểm đầu và điểm cuối và hình chiếu của nó lên  trục OX.

Bước 2: tính góc quét $\widehat{MON}=\widehat{{{x}_{1}}MO}+\widehat{ON{{x}_{2}}}$

Bước 3: Tính thời gian: $\widehat{MON}=\omega .\vartriangle t$

\[\Delta t={{t}_{MN}}=\frac{\widehat{MON}}{36{{0}^{\mathbf{o}}}}T\],  

với: $\text{Sin(}\widehat{{{x}_{1}}MO})=\frac{|{{x}_{1}}|}{A}$, $Sin(\widehat{ON{{x}_{2}}})=\frac{|{{x}_{2}}|}{A}$

 

 

Chú ý: Nếu tại thời điểm t vật có li độ x và đang tăng tức là vật chuyển động theo chiều dương, còn đang giảm tức là đi theo chiều âm. Việc tăng, giảm ở đây là sự tăng giảm về mặt giá trị.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với T(s).Hãy xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến $\frac{A\sqrt{3}}{2}$

Để vật đi từ vị trí cân bằng đến  $\frac{A\sqrt{3}}{2}$ thì $\vartriangle \varphi $=$\widehat{MON}$ mà $\widehat{MON}$=arcsin$\frac{\frac{A\sqrt{3}}{2}}{A}$ =$\frac{\pi }{3}$

Áp dụng công thức: Dt = $\frac{\Delta \varphi }{\omega }$=$\frac{{}^{\pi }/{}_{3}}{2\pi }.T$ =$\frac{T}{6}$ (s)

Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt + \[\frac{\pi }{3}\]) cm. Tại thời điểm t vật có li độ 5 cm, xác định li độ của vật sau đó \[\frac{1}{30}\] s

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức:Dt = $\frac{\Delta \varphi }{\omega }$ $\Leftrightarrow $ \[\frac{1}{30}\]=$\frac{\vartriangle \varphi }{5\pi }$ $\Rightarrow $ $\vartriangle \varphi $=$\frac{\pi }{12}$

$\Rightarrow $x=5$\sqrt{3}$

TH2: chất điểm đi theo chiều âm :

Giải tương tự trường hợp 1 ta đươc x=0

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = Asin(ωt + φ) cm. Xác định tần số góc ω, biên độ A của dao động biết rằng, trong khoảng thời gian $\frac{1}{60}$  (s) đầu tiên, vật đi từ li độ x₀ =0 đến li độ x = $\frac{A\sqrt{3}}{2}$theo chiều dương và tại điểm cách VTCB một khoảng 2 cm vật có vận tốc v = 40π\[\sqrt[]{3}\] cm/s.

Để vật đi từ vị trí cân bằng đến  $\frac{A\sqrt{3}}{2}$ thì $\vartriangle \varphi $=$\widehat{MON}$ mà $\widehat{MON}$=arcsin$\frac{\frac{A\sqrt{3}}{2}}{A}$ =$\frac{\pi }{3}$

Áp dụng công thức: Dt = $\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

$\Rightarrow $ $\omega $=20$\pi $ (rad)

Áp dụng công thức A=$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}$ = 4 (cm)

Ví dụ 4 (THPTQG 2018) Hai vật ${{M}_{1}}$ và  dao ${{M}_{2}}$động điều hòa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ ${{x}_{1}}$của ${{M}_{1}}$  và vận tốc ${{v}_{2}}$của${{M}_{2}}$ theo thời gian t. Hai dao động của ${{M}_{2}}$và${{M}_{1}}$ lệch pha nhau

 

Hướng dẫn

Ta có khi ${{v}_{2}}$ =-${{v}_{2\max }}$ thì ${{x}_{1}}$=$\frac{{{A}_{1}}}{2}$ và đi theo chiều âm ta có thể biểu diễn qua đường tròn như sau :

Khi đó ta được $\widehat{MO-{{v}_{2\max }}}$ =$\frac{\pi }{2}$ +arccos$\frac{1}{2}$ =$\frac{2\pi }{3}$. Nghĩa là ${{v}_{2}}$nhanh pha hơn ${{x}_{1}}$ $\frac{2\pi }{3}$. Nên hai dao động của ${{M}_{2}}$và${{M}_{1}}$ lệch pha nhau là: $\frac{2\pi }{3}$-$\frac{\pi }{2}$=$\frac{\pi }{6}$(rad)

Ví dụ 5: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là:

Hướng dẫn :

Ta có ${{6}^{2}}$ +${{8}^{2}}$=${{10}^{2}}$Nên hai dao động vuông pha với nhau.

Khi điểm mà M có động năng bằng thế năng thì ${{x}_{M}}$ =$\frac{{{A}_{M}}\sqrt{2}}{2}$ =3$\sqrt{2}$

Suy ra khi đó điểm ${{x}_{N}}$=$\frac{{{A}_{N}}\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$

Suy ra :$\frac{{{E}_{dM}}}{{{E}_{dN}}}$=$\frac{9}{16}$

Bài tập tự luyện

 

Câu 1: Vật dao động điều hòa, gọi t₁ là thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x = A/2 và t₂ là thời gian vật đi từ vị trí li độ x = A/2 đến biên dương. Ta có

   A. t₁ = 0,5t₂                                     B. t₁ = t₂                                        C. t₁ = 2t₂                                      D. t₁ = 4t₂

Câu 2: Con lắc lò xo dao động với biên độ A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến điểm M có li độ x = $\frac{A\sqrt{2}}{2}$là 0,25(s). Chu kỳ của con lắc

   A. 1 s       B. 1,5 s                           C. 0,5 s                                           D. 2 s

Câu 3: Cho một vật dao động điều hòa có phương trình chuyển động x = 10cos(2πt - \[\frac{\pi }{6}\]) cm. Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên vào thời điểm x

   A. 1/3 s.   B. 1/6 s.                         C. 2/3 s.                                         D. 1/12 s.

Câu 4: Một vật dao động điều hoà với li độ x = 4cos($\frac{\pi t}{2}-\frac{5\pi }{6}$) cm trong đó t tính bằng (s).Vào thời     điểm nào sau đây vật đi qua vị trí x = 2\[\sqrt[]{3}\] cm theo chiều dương của trục toạ độ?

   A. t = 1 s.                                          B. t = 2 s.                                       C. t = 16/3 s.                                D. t = 1/3 s.

Câu 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2πt + π/4) cm thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ 3 là

   A. 13/8 s.                                         B. 8/9 s.                                         C. 1 s.                                             D. 9/8 s.

Câu 6: Vật dao động điều hòa có phương trình x = 5cos(πt) cm. Vật qua VTCB lần thứ 3 vào thời điểm

   A. 2,5 s.   B. 2 s.                             C. 6 s.                                             D. 2,4 s

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos($\frac{2\pi t}{T}+\frac{\pi }{2}$). Thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắt đầu dao động tới khi vật có gia tốc bằng một nửa giá trị cực đại là

   A. t = T/12                                       B. t = T/6                                       C. t = T/3                                       D. t = 5T/12

Câu 8. Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 2cos(2πt + π) cm.     Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x = \[\sqrt[]{3}\] cm là

   A. 2,4 s     B. 1,2 s                           C. 5/6 s                                          D. 5/12 s

Câu 9. Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 5cos(8πt - 2π/3) cm. Thời gian ngắn nhất vật đi từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x = 2,5 cm là

   A. 3/8 s    B. 1/24 s                        C. 8/3 s                                          D. Đáp số khác

Câu 10. Vật dao động điều hòa có phương trình x = 4cos(2πt – π) cm. Vật đến biên dương lần thứ 5 vào thời điểm:            A. 4,5 s.     B. 2,5 s.                                C. 2 s.                                             D. 0,5 s.

Câu 11. Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 6cos(πt – π/2) cm. Thời gian vật đi từ VTCB đến lúc qua điểm có x = 3 cm lần thứ 5 là:

 A. \[\frac{61}{6}\] s.                          B. \[\frac{9}{5}\] s.                C. \[\frac{25}{6}\] s.                D. \[\frac{37}{6}\] s.

Câu 12. Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 2cos($\pi $t - $\pi $/2) cm. Thời điểm vật đi qua li độ x = \[\sqrt[]{3}\] cm theo chiều âm lần đầu tiên kể từ thời điểm t = 2 s là

   A. \[\frac{8}{3}\] s.                                                                               B. \[\frac{4}{3}\] s.                   C. \[\frac{2}{3}\] s.          D. \[\frac{10}{3}\] s.

Câu 13. Một vật dao động điều hoà với phương trình x =10sin($\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{6}$) cm. Thời gian kể từ lúc bắt đầu     khảo sát đến lúc vật qua vị trí có li độ x = - 5\[\sqrt[]{3}\] cm lần thứ ba là

   A. 6,33 s B. 7,24 s                         C. 9,33 s                                        D. 8,66 s

Câu 14: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x ₁ = –A đến vị trí có li độ x₂ = A/2 là 1s. Chu kì dao động của con lắc là

                A. 1/3 s.                B. 3 s.    C. 2 s.    D. 6 s.

Câu 15: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với các phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}$= 2Acos($2\pi \omega t$), ${{x}_{2}}$=Acos($2\pi \omega t$+$\frac{\pi }{2}$ ). Biết $\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{3}{4}$ .Vị trí hai chất điểm gặp nhau lần đầu tiên là:
A.-A             B.$\frac{-2A}{3}$                 C: $\frac{-A}{2}$                    D:$\frac{-3A}{2}$    

Đáp án

1.C 2D 3B 4C 5D 6A 7A 8D 9D 10A 11C 12A 13A 14B 15A

Bài viết gợi ý: