Đề thi thử môn Toán trường chuyên Đại học Vinh - Nghệ An lần 1 có lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với $M\left( 0;10 \right),N\left( 100;10 \right)$ và $P\left( 100;0 \right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm $A\left( x;\text{ }y \right),\left( x,\text{ }y\in \mathbb{Z} \right)$ nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm $A\left( x;y \right)\in S.$ Xác suất để $x+y\le 90$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

đường thẳng

$d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$ và điểm $A\left( \frac{1}{2};1;1 \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng

, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 10;6;-2 \right),B\left( 5;10;-9 \right)$ và mặt phẳng

Điểm M di động trên mặt phẳng

sao cho MA, MB luôn tạo với

các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn

cố định. Hoành độ của tâm đường tròn bằng:

Giả sử a, b là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}$ đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\log \left( x+y \right)=z$ và $\log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1$. Giá trị của $a+b$ bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+\left( a+10 \right){{x}^{2}}-x+1$ cắt trục hoành tại đúng một điểm ?

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có 5 điểm cực trị?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( GMN \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }\left( ABCD \right).$

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và $f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0$. Biết $\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx=\frac{1}{2},\int\limits_{0}^{1}{f'\left( x \right)c\text{os}\pi dx=\frac{\pi }{2}.}}$ Tính $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số $y=f'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( 1-\frac{x}{2} \right)+x$ nghịch biến trên khoảng ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

và điểm $M\left( 1;1;1 \right)$. Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên

. Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{\left( f'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).f''\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=f'\left( 0 \right)$. Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng:

Cho đồ thị $\left( C \right):{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.$ Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua điểm $B\left( 0;b \right)?$

Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$là hai trong số các số phức z thỏa mãn $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2.$ Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng:

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác vuông,$AB=BC=a$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( ACC' \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }\left( AB'C' \right)$ bằng ${{60}^{\circ }}$ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp $B'.ACC'A'$ bằng:

Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình ${{a}^{x}}\ge 9x+1$ nghiệm đúng với mọi $x\in R$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng:

Cho $\left( P \right):y={{x}^{2}}$và $A\left( -2;\frac{1}{2} \right).$ Gọi M là một điểm bất kì thuộc $\left( P \right).$ Khoảng cách MA bé nhất là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B'C' (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng:

Cho $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right)=16,\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx=2.}$ Tích phân $\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}$ bằng:

Cho khai triển ${{\left( 3-2x+{{x}^{2}} \right)}^{9}}={{a}_{0}}{{x}^{18}}+{{a}_{1}}{{x}^{17}}+{{a}_{2}}{{x}^{16}}+...+{{a}_{18}}.$ Giá trị của ${{a}_{15}}$ bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -10;10 \right)$ để hàm số $y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-2\left( 4m-1 \right){{x}^{2}}+1$ đồng biến trên khoảng

?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}?$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng

. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng

, đồng thời vuông góc và cắt đường d ?

Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-8x+25=0.$ Giá trị của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+x+\frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ -3;-1 \right]$ bằng:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x,\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $y=-2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng:

Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{3x+1}}dx}$ bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, $SO=a$ (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right).$ Giá trị của $f'\left( 0 \right)$ bằng:

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $AB=AA'=a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 1;\text{ }0;-1 \right).$ Mặt phẳng

đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình ${{x}^{2}}+bx+2=0$ có hai nghiệm phân biệt là:

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ?

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó ?

Cho

là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai ?

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên R ?

Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$có cạnh bên $AA'=h$ và diện tích của tam giác ABC bằng S. Thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

và

. Tìm m để hai mặt phẳng

và

song song với nhau.

Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai ?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây ?

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x=0,x=1,y=0$ và $y=\sqrt{2x+1}$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức:

Cho hàm số xác định $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -2;3 \right]$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đã cho ?

Trong   không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 1;2;3 \right).$ Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm:

Phương trình $ln\left( {{x}^{2}}+1 \right).\ln \left( {{x}^{2}}-2018 \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng là

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=c\text{os}2x$ là: