kiểm tra hình

Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a , diện tích \[{{S}_{1}}\]. Nối 4 trung điểm \[{{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}\] theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là \[{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\] có diện tích \[{{S}_{2}}\]. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông thứ ba là \[{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}\] có diện tích \[{{S}_{3}}\]và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích \[{{S}_{4}},{{S}_{5,...}}\]\[S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}.\]

Cho hình lập phương \[ABCD.ABCD\] có cạnh bằng \[a\]. Điểm \[M\] thuộc đoạn thẳng \[BC\], điểm N thuộc đoạn thẳng \[MN=\frac{2a}{\sqrt{5}+1}\] tạo với mặt phẳng đáy một góc \[30{}^\circ \]. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \[MN\].

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh

$B,AB=4,SA=SB=SC=12.$

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm E, F sao cho

$\frac{SE}{SA}=\frac{BF}{B\text{S}}=\frac{2}{3}.$

Tính thể tích khối tứ diện MNEF

Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật$AB=a,AD=a\sqrt{2}$ . Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( SAC \right)\] và \[\left( ABCD \right)\] bằng ${{60}^{0}}$ . Gọi H là trung điểm của\[AB\]. Biết rằng tam giác \[SAB\] cân tại H và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \[a\] bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.HAC\]

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết \[AB=2a,\text{ }AC=a,\text{ }AA'=4a\text{ }.\] Gọi M là điểm thuộc cạnh AA' sao cho \[MA'=3MA\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và C’M.

Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp S.ABC có $SA=x,BC=y,$ các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S,ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x.y bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = x.$ Xác định  x để 2 mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ hợp với nhau một góc $60^\circ $

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[1\]. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo $BD'$. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt đáy, \[SA=2a\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[SC\]. Tính côsin của góc \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng \[BM\] và mặt phẳng \[\left( ABC \right)\].

Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA=a,SB=2a,SC=3a.\] Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \[S.ABC\].