toán tích phân 01

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9$ là :

Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)=3-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ là:

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc  v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h)

 có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;5) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \[y=\sin x,\text{ }y=cos\text{ }x\] và các đường thẳng \[x=0,\text{ }x=\pi \] bằng:

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\cos x$ là

. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn $f'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1}$; $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$. Giá trị của biểu thức $T=f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ là

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=$\frac{1}{x-1}$  trên $\left( 1;+\infty  \right)$ , biết F(2)=1

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}$. Biết $f\left( 0 \right)=2$. Tính ${{f}^{2}}\left( 2 \right).$

Cho hàm số\[y=f(x)\]  liên tục trên đoạn \[\left[ 0;1 \right]\]và \[y={f}'(x)\] liên tục trên đoạn \[\left[ 0;1 \right]\], \[f(1)=4\]

Tính \[\int_{0}^{1}{\left[ {{x}^{2}}f(x)+\frac{{{x}^{3}}}{3}{f}'(x) \right]dx}\].

Cho $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm, liên tục trên $\left[ 0;2 \right]$ và \[\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)f'\left( x \right)dx=2},\,\,\int\limits_{0}^{2}{g'\left( x \right)f\left( x \right)dx=3}\] Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]'\,}dx.$

Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong $y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}.$ Gọi S₁ là phần không gạch sọc và S₂ là phần gạch sọc như hình vẽ bên cạnh. Tỉ số diện tích S₁ và S₂ là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[ 0;1 \right]$. Biết $f\left( x \right).f\left( 1-x \right)=1$ mọi x thuộc $\left[ 0;1 \right]$. Tính giá trị $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+f\left( x \right)}}$.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn $f\left( 2 \right)=-2;$ $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=1.}$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{4}{f'\left( \sqrt{x} \right)dx.}$

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

 Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\], thỏa mãn \[f\left( x \right)>0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\] và \[f'\left( x \right)+2f\left( x \right)=0\]. Tính \[f\left( -1 \right)\], biết rằng \[f\left( 1 \right)=1\].

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, đường thẳng $y=2-x$ và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng $\int_{1}^{{{e}^{3}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx=7,\,\,\,\,\int_{0}^{\pi /2}{f\left( \cos x \right)\sin xdx}=3.$ Tính tích phân $I=\int_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx.$

Xét hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn $2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-x}.$ Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\]và nửa đường tròn có phương trình \[y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\]với \[-2\le x\le 2\](phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho parabol $\left( P \right)$có đồ thị như hình vẽ:

Tính diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$và trục hoành.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)>0$ xác định, có đạo hàm trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn:

$g\left( x \right)=1+2018\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)}dt,g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right).$ Tính $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{g\left( x \right)}d\text{x}}$ 

Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{3x+5\sqrt{3x+1}+7}}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Cho $\int\limits_{0}^{1}{x.\ln \sqrt{3{{x}^{2}}+1}}dx=a.ln2-\frac{b}{c}$ (với a là số hữu tỉ , b và c là các số nguyên dương ,$\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Hãy tính giá trị của $a.b.c$ .

Cho $\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=a+b\sqrt{2},$ với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là

Biết $\int\limits_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }{\frac{1-x\tan \,x}{{{x}^{2}}\cos x+x}dx=\ln \frac{\pi -a}{\pi -b}}\left( a;b\in \mathbb{Z} \right)$là. Tính $P=a+b$ ?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=2x-{{x}^{2}}$, y=0. Khi quay (H) xung quanh trục Ox ta thu được khối tròn xoay có thể tích \[V=\pi \left( \frac{a}{b}+1 \right)\] , với$\frac{a}{b}$ là phân số tối giản . Khi đó có ab bằng bao nhiêu

Cho \[f(x)\] là hàm liên tục trên đoạn \[\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;a]\] thỏa mãn

 và \[\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{1+f(x)}=\frac{ba}{c}},\] trong đó \[b,c\] là hai số nguyên dương và \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản. Khi đó \[b+c\] có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho một mô hình \[3-D\] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \[5\,\left( \text{cm} \right)\]; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức$y=3-\frac{2}{5}x$\[\left( \text{cm} \right)\], với $x$\[\left( \text{cm} \right)\] là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị$c{{m}^{3}}$ ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=\frac{1}{\ln 2}.$ Tính giá trị biểu thức $T=F\left( 0 \right)+F\left( 1 \right)+F\left( 2 \right)+...+F\left( 2017 \right).$ 

Cho hàm số $f\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$và ${{\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'\left( x \right) \right]}}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{x}}dx=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}.}$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx.}$ 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx=2018.}$ Tích phân $\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\frac{f\left( x \right)}{{{2018}^{x}}+1}dx}$ bằng:

Biết Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ ${{R}_{1}}=20\,cm$, bán kính đường tròn lớn ${{R}_{2}}=30\,cm$ và mặt cắt khi cắt bới mặt phẳng đi qua trục, vuông góc với mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày của vỏ săm. Tính thể tích không khí chứa được bên trong săm.

Để đảm bảo an toàn giao thông , khi dừng đèn đỏ các xe cộ phải cách nhau tối thiếu 1m . Một ô tô A chạy với vận tốc 12m/s thì gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A phải hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v$_{A}(t)=12-3t$ (m/s). Để đảm bảo an toàn thì ô tô A phải hãm phanh cách ô tô B một khoảng ít nhết bao nhiêu mét?

Cho \[\int\limits_{0}^{2}{\left( 1-2x \right)f'\left( x \right)dx}=3f\left( 2 \right)+f\left( 0 \right)=2016.\] Tích phân \[\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}\] bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1;\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=9$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}.}$ Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$bằng :