Help me! Các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = (x^2 - xy + y^2)(y^2 - yz + z^2)(z^2

301295taetae

5 năm trước

Help me!

Các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x^2 - xy + y^2)(y^2 - yz + z^2)(z^2 - zx + x^2)$.

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 289 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

tanhi121999@gmail.com

Không mất tính tổng quát, giả sử $0 \leq z\leq y\leq x\leq 3$
Khi đó có $\left\{\begin{matrix} z(z-x) \leq 0\\ z(z-y) \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2 - zx \leq 0\\ z^2 - yz \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2 - zx + x^2 \leq x^2\\ z^2 - yz + y^2 \leq y^2 \end{matrix}\right.$
Từ đó $P \leq x^2y^2(x^2-xy+y^2) = x^2y^2[(x+y)^2 - 3xy] = x^2y^2(x+y)^2 - 3x^3y^3 \leq$
$\leq (xy)^2(x+y+z)^2 - 3(xy)^3 = 9(xy)^2 - 3(xy)^3$
Ta có $2\sqrt{xy} \leq x+y \leq x+y+z = 3 \Leftrightarrow xy \leq \frac{9}{4}$
Đặt $t = xy \Rightarrow 0 \leq t \leq \frac{9}{4}$
Xét hàm số $f(t) = 9t^2 - 3t^3$ với $t \in \left [ 0; \frac{9}{4} \right ]$. Ta có $f'(t) = 18t - 9t^2 = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 0\\ t = 2 \end{matrix}$
Tính được $f(0) = 0; f(2) = 12; f \left (\frac{9}{4} \right ) = \frac{729}{64}$ suy ra $\underset{\left [ 0; \frac{9}{4} \right ]}{\max}\ f(t) = 12$
Ta có $P \leq f(t) \leq 12$
Từ đó giá trị lớn nhất của P bằng 12. Đạt được chẳng hạn (x; y; z) = (0; 1; 2)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Help me!

Tìm toạ độ giao điểm A của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ với trục hoành. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A .

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2+3$

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hàm số $y=x^4-2x^2-3$ có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số.
2) Dùng đồ thị (C) tìm m để phương trình $x^4-2x^2+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}$

b) Tìm tọa độ của điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $(d): 6x - y - 4 = 0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $z^2-4x+6y-2z-2=0$. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và cắt n mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính $r=2\sqrt{3}$.

Một hình lập phương có cạnh bằng 1. Một hình trụ tròn xoay có đáy là 2 đường tròn nội tiếp 2 hình vuông đối diện của hình lập phương. Hiệu số thể tích của khối lập phương và khối trụ đã cho là

cho a,b,c là các số thực thoả mãn a>0 b>0 và f(x)= ax²+bx+c >= 0 với mọi x thuộc R. tìm giá trị nhỏ nhất F_mincủa biểu thức F= (4a+c)/b

A. F_min= 1

B. F_min= 2

C. F_min= 3

D. F_min= 5

Bấm máy được ko a hay phải giải tay

$\log(x^{2}+1)=m^{2}-4$ có nhiệm khhi và chỉ khi:

cho em xin lời giải chi tiết ạ!

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB=acăn7 AC=2a. hình chiếu của S lên mp (ABC) trùng với trung điểm H của canh AB. gọi M là trung điểm của cạnh BC. Góc giữa SM và mp (ABC) bằng 60. Tính V khối chóp SABC

ĐK của bài này 0 _<x+y_<4. Mọi người giải thích giúp mình tại sao có đk này

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến