Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\ln (x^{2}-x); y=\frac{10}{x}, x=e^{2}\) và \(x=e^{3}\) được tính theo công thức:

\(I=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\left | \ln (x^{2}-x)-\frac{10}{x} \right |dx=\left | \int_{e^{2}}^{e^{3}}(\ln (x^{2}-x)-\frac{10}{x})dx \right |\)

\(=\left | \int_{e^{2}}^{e^{3}}\ln (x^{2}-x)dx-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx \right |\)

Bây giờ ta đi tính tích phân \(I_{1}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\ln (x^{2}-x)dx\)

Đặt \(u=\ln (x^{2}-x)\Rightarrow du=\frac{2x-1}{x^{2}-x}dx;dv=dx\Rightarrow v=x\)

Vậy

\(I_{1}=x\ln (x^{2}-x) |_{e^2}^{e^3}-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{x(2x-1)}{x(x-1)}dx\)

\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{2(x-1)+1}{(x-1)}dx\)

\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-2\int_{e^{2}}^{e^{3}}dx-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{dx}{x-1}\)

\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-2x |_{e^{2}}^{e^{3}}-\ln \left | x-1 \right | |_{e^{2}}^{e^{3}}\)

\(=e^{3}\ln \left [ e^{3}(e^{3}-1) \right ]-e^{2}\ln \left [ e^{2}(e^{2}-1) \right ]-2e^{3}+2e^{2}-\ln (e^{3}-1)+\ln (e^{2}-1)\)

\(=3e^{3}+e^{3}\ln (e^{3}-1)-2e^{2}-e^{2}\ln (e^{2}-1)-2e^{3}+2e^{2}-\ln (e^{3}-1)+\ln (e^{2}-1)\)

\(=e^{3}+(1-e^{2})\ln (e^{2}-1)-\ln (e^{3}-1)+e^{3}\ln (e^{3}-1)\)

Tiếp tục tính tích phân \(I_{2}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx\)

Ta có \(I_{2}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx=10\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{1}{x}dx=10\ln \left | x \right ||_{e^{2}}^{e^{3}}=10\)

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

\(I=\left | I_{1}-I_{2} \right |\)

\(=e^{3}+(1-e^{2})\ln (e^{2}-1)+e^{3}\ln (e^{3}-1)-10\) (đvdt)