Thấy \(SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\) là đường cao của hình chóp S.ABC và \(SA=a\sqrt{3}\)
Tam giác ABC vuông tại B, AB = \(a\sqrt{3},\) AC = 2a, suy ra BC = a.
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SA=\frac{a^{2}}{2}\)
Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình chữ nhật
AB//CD => AB // (SCD) => d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))
\(\left.\begin{matrix} CD\perp AD\\CD\perp SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow CD\perp (SAB)\Rightarrow (SCD)\perp (SAD)\)
Trong mp (SAD) từ A kẻ AH vuông góc với SD tại \(H\Rightarrow AH\perp (SCD)\)
Xét tam giác SAD vuông tại A có SA = \(a\sqrt{3}\), AD = a
Vì \(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AD^{2}}+\frac{1}{AS^{2}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
