Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

hunterfairy99

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 1804 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

logavy123

\(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2+27\leq 10(a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2+27\leq 30(a^2+b^2+c^2)\)
\(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2- 30(a^2+b^2+c^2)+27\leq 0\)
\(\Rightarrow 1\leq a^2+b^2+c^2\leq 9\)
\(\Rightarrow 1\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq 3\) (1)
Ta có \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}.\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)
\(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}.\frac{a+2c+b+2c}{2}\)
\(= \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}.\frac{{a+b+4c}}{2}}\)
\(= \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}.\sqrt{\frac{3(a+b)}{2}+\frac{a+b+4c}{2}}\)
\(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.(a+b+c)\)
\(\leq \frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{t}+t=f(t),t=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Do (1) nên, \(t\in \left [ 1;3 \right ].\) Xét \(f(t)=t+\frac{3}{t}\), \(t\in \left [ 1;3 \right ]\)
\(f'(t)=1-\frac{3}{t^2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\), vì t > 0
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay a = b = c = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (1).

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= \(a\sqrt{3}\), tam giác ABC vuông tại B, AB = \(a\sqrt{3}\), AC = 2a. Tính theo a thể tích hình chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{ab+\sqrt{a^4+4a^2b^2}}{3b^2+a^2}+\frac{bc+\sqrt{b^4+4b^2c^2}}{3c^2+b^2}\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', ABC đều có cạnh bằng a, AA'=a và đỉnh A' cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A'B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Xác định a, b, c để hàm số \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) có giá trị 0 khi x = 1 và đạt giá trị cực trị bằng 0 khi x = -1.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Giải bất phương trình: \(log_x(3-\sqrt{1-2x+x^2})> 1\)

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(c=min\left \{ a,b,c \right \}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a+b+c}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến