\(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=y^3+3x (y^2+xy+x-1)+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \sqrt{2x^2-x+y+4}-\sqrt{21x+y-16}+x^2-x+y+1=0 (2)\end{matrix}\right.\)
Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ x+y+1>0\\ 2x^2-x+y+4>0\\ 21x+y-16>0 \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (1)
\(\frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=y^3+3x(y^2+xy+x-1)+1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=(y^3+3xy^2+3x^2y+x^3)-1) -(x^3-3x^2+3x-1)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=(x+y)^3-(x-1)^3\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^3-\frac{1}{\sqrt{x}}=(x+y)^3-\frac{1}{\sqrt{x+y+1}}\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3-\frac{1}{\sqrt{t+1}}\) trên \((0;+\infty )\)
\(f'(t)=3t^2+\frac{1}{2(\sqrt{t+1})^3}>0, \forall t>0\) Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\(f(x-1)=f(x+y)\Leftrightarrow x-1=x+y\Leftrightarrow y=-1\)
+ Với y = -1 thay vào (2) ta được \(\sqrt{2x^2-x+3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0 \ \ (*)\)
Điều kiện \(x\geq \frac{21}{17}\)
Phương trình \((*)\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-x+3}-x-1)+(3x-1-\sqrt{21x-17})+x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-3x+2)\left ( \frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}+x+1} + \frac{9}{3x-1+\sqrt{21x-17}}+1 \right )=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2-3x+2=0\\ \frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}+x+1} + \frac{9}{3x-1+\sqrt{21x-17}}+1 \end{matrix}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}+x+1} + \frac{9}{3x-1+\sqrt{21x-17}}+1=0\)
Vô nghiệm \(\forall x> \frac{17}{21}\)
\(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1(t/m)\\ x=2 (t/m) \end{matrix}\)
Kết hợp điều kiện kiểm tra lại vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\)