Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

khongchiuthua

5 năm trước

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 258 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Huongckoe460

Đặt a = x - 2, b = y - 1, c = z.
Ta có a, b, c > 0 và \(P=\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+1\geq \frac{(a+b)^2}{2}+\frac{(c+1)^2}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mặt khác \((a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}\)
Khi đó: \(P\leq \frac{1}{a+b+c+1}-\frac{27}{(a+b+c+1)^3}\). Dấu ''='' \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đặt \(t=a+b+c+1\Rightarrow t>1\). Khi đó \(P\leq \frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1\)
Xét hàm \(f(t)=\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1;f'(t)=-\frac{1}{t^2}-\frac{81}{(t+2)^4}\)
\(f'(t)=0\Leftrightarrow (t+2)^4=81.t^2\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\Leftrightarrow t=4(Do \ t>1)\)

\(\lim_{t\rightarrow +\infty }f(t)=0\)
Ta có BBT.

Từ bảng biến thiên ta có
\(maxf(t)=f(4)=\frac{1}{8}\Leftrightarrow t=4\)
\(maxP=f(4)=\frac{1}{8}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c=1\\ a+b+c=4 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=3;y=2;z=1\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{8}\) , đạt được khi (x;y;z) = (3; 2; 1)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tanx}{cos^2x}dx\)

Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \sqrt{10(a+b+c)^2-27}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}\sqrt[4]{(a+2c)(b+2c)}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (1).

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= \(a\sqrt{3}\), tam giác ABC vuông tại B, AB = \(a\sqrt{3}\), AC = 2a. Tính theo a thể tích hình chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN).

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{ab+\sqrt{a^4+4a^2b^2}}{3b^2+a^2}+\frac{bc+\sqrt{b^4+4b^2c^2}}{3c^2+b^2}\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', ABC đều có cạnh bằng a, AA'=a và đỉnh A' cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A'B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Xác định a, b, c để hàm số \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) có giá trị 0 khi x = 1 và đạt giá trị cực trị bằng 0 khi x = -1.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến