Điều kiện \(x \geq \frac{-3}{2}\)
Từ phương trình (1) ta có \(x^3 + 3x = (y+1)^3 + 3(y+1)\)
Xét hàm số
\(f(t) = t^3 + 3t\)
\(f'(t) = 3t^2 + 3\)
\(f'(t) > 0\) với mọi t suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
\(f(x) = f(y+1) \Leftrightarrow x = y+1\)
Thế x = y + 1 vào phương trình (2) ta được:
\((x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt[3]{7x+6}) - \frac{3(x+1)}{x-1}\)
Ta có x = 1 không là nghiệm phương trình. Từ đó
\((\sqrt{2x+3} + \sqrt[3]{7x+6}) = \frac{3(x+1)}{x-1}\)
Xét hàm số \(g(x) = (\sqrt{2x+3} + \sqrt[3]{7x+6}) - \frac{3(x+1)}{x-1}\)
TXĐ: \(D = \bigg[-\frac{3}{2}; + \infty \bigg) \setminus \{1\}\)
\(g'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} + \frac{7}{3\sqrt[3]{(7x+6)^2}} + \frac{6}{(x-1)^2}\)
\(g'(x) > 0, \forall x > -\frac{3}{2}; x eq 1, g'(-\frac{3}{2})\) không xác định
Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\frac{3}{2}; 1)\) và \((1; + \infty )\)
Ta có g(-1) = 0; g(3) = 0. Từ đó phương trình g(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = -1 và x = 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1; -2) và (3; 2)
