Trong mặt phẳng (SAC), kẻ HI song song với SA thì \(HI \perp (ABC).\)
Ta có \(CA=AB\cos 30^{\circ}-a\sqrt{3}.\) Do đó \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}.2a.a\sqrt{3}.\sin 30^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\)
Ta có \(\frac{HI}{SA}=\frac{HC}{SC}=\frac{HC.SC}{SC^{2}}=\frac{AC^{2}}{SC^{2}}=\frac{AC^{2}}{SA^{2}+AC^{2}}=\frac{3a^{2}}{4a^{2}+3a^{2}}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow HI=\frac{6}{7}a.\)
Vậy \(V_{H.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.HI=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\frac{6}{7}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{7}.\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có
\(AH \perp SC, AH \perp CB \; (do\; CB \perp (SAC))\), suy ra \(AH \perp (SBC)\Rightarrow AH \perp SB.\)
Lại có: \(SB \perp AK, \, suy \; ra\; SB \perp (AHK).\) Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) là \(\widehat{HKA}.\)
\(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{4a^{2}}+\frac{1}{3a^{2}}=\frac{7}{12a^{2}}\Rightarrow AH=\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}};\)
\(\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{4a^{2}}+\frac{1}{4a^{2}}=\frac{1}{2a^{2}}\Rightarrow AK=a\sqrt{2}.\)
Tam giác HKA vuông tại H (vì \(AH \perp (SBC),(SBC)\supset HK\)).
\(\sin \widehat{HKA}=\frac{AH}{AK}=\frac{\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\Rightarrow \cos \widehat{HKA}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)
