Đặt \(x=a+b-c,y=b+c-a,z=c+a-b\Rightarrow x,y,z\geq 0;xyz=1\)
Ta có \(a=\frac{x+z}{2},b=\frac{x+y}{2},c=\frac{y+z}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\((\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+xz}{6}\Leftrightarrow (\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{(x+y+z)^{2}-(xy+yz+xz)}{6}\)
Theo Cô si ta có:
\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{(x+y+z)^{2}-(xy+yz+xz)}{6}\leq \frac{(x+y+z)^{2}-3}{6}\)
Ta cần chứng minh
\((\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{6}-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{x+y+z}{3})^{5}- \frac{(x+y+z)^{2}}{6}-\frac{1}{2}\geq 0\)
Đặt \(t=\frac{x+y+z}{3},\; do \; x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 1\)
Xét hàm số:
\(f(t)=t^{5}-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2},t\in [1;+\infty )\)
\(f(t)=5t^{4}-3t> 0\forall t\in [1;+\infty )\)
\(\Rightarrow f(t)\geq f(1)\; hay \; t^{5}-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2}\geq 0\)
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra nếu x = y = z = 1 nên a = b = c = 1.
