Theo giả thiết, \(\small HA = HC = \frac{1}{2}AC=a\) và \(\small SH \perp mp (ABC)\)
Xét \(\small \Delta v.ABC\) ta có: \(\small BC = AC.cos\widehat{ACB}=2a.cos30^0=\sqrt{3}a\)
Do đó, \(\small S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.sin\widehat{ACB}=\frac{1}{2}2a.\sqrt{3}a.sin30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\)
Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{\sqrt{6}a^3}{6}\)
Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)). (1)
Gọi N là trung điểm của AB, ta có HN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC. Do đó HN // BC. Suy ra AB \(\perp\) HN. Lại có AB \(\perp\) SH nên AB \(\perp\) mp(SHN). Do đó mp(SAB) \(\perp\) mp(SHN). Mà SN là giao tuyến của hai mặt phẳng vừa nêu, nên trong mp(SHN), hạ HK \(\perp\) SN, ta có HK \(\perp\) mp(SAB). Vì vậy d(H, (SAB)) = HK.
Kết hợp với (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK. (2)
Vì SH \(\perp\) mp(ABC) nên SH \(\perp\) HN. Xét \(\small \Delta v.SHN\), ta có:
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{HN^2}\)
Vì HN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC nên \(HN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Do đó \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\). Suy ra \(HK = \frac{\sqrt{66}a}{11}\)
Thế (3) vào (2), ta được \(d(C,(SAB))=\frac{2\sqrt{66}a}{11}\)
