Gọi H là trung điểm của AB, vì SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH \perp AB\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD) \ va \ SH=\sqrt{SA^2-HA^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ SH\perp AB,SH\subset (SAB) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Vì ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow S_{\Delta ACD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}a.2a=a^2\)
Do đó \(V_{S.ACD}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ACD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\) (đvtt)
Gọi J là trung điểm của \(CD\Rightarrow IJ//SC\Rightarrow SC//(AIJ)\)
\(\Rightarrow d (AI,SC) = d (SC, (AIJ)) = d (C, (AIJ) )\)
Ta có \(CD\cap (AIJ )=J \Rightarrow d (C, (AIJ)) =d (D, (AIJ))\) (vì J là trung điểm CD).
Vậy \(d (AI, SC) =d (D,(AIJ))\)
Vì H là trung điểm AB, J là trung điểm của CD do đó tứ giác AHJD là hình chữ nhật. Gọi K là tâm của hình chữ nhật AHJD \(\Rightarrow\) IK // SH (vì IK là đường trung bình tam giác SHD).
Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp (ABCD)\\ IK//SH \end{matrix}\right.\Rightarrow IK\perp (ABCD)\) và \(IK=\frac{SH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(S_{\Delta ADJ}=\frac{1}{2}.AD.DJ=\frac{a^2}{2}\)
\(V_{I.ADJ}=\frac{1}{3}.IK.S_{\Delta ADJ}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\)
\(AJ=\sqrt{AD^2+DJ^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
Vì \(IK\perp (ABCD)\Rightarrow IK\perp AJ\Rightarrow S_{\Delta AIJ}=\frac{1}{2}.IK.AJ=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{17}}{2}=\) \(\frac{a^2\sqrt{51}}{16}\)
Do đó \(d(D,(AIJ))=\frac{3V_{I.ADJ}}{S_{\Delta AIJ}}=\frac{2a\sqrt{17}}{17}\)