Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm \(A(x; x+1) B(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})\) và \(C(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})\)

Khi đó, ta có \(P = \frac{OA}{a}+\frac{OB}{b}+\frac{OC}{c}\) trong đó a = BC, b = CA và c = AB.

Gọi G là trọng tâm \(\Delta\)ABC, ta có:

\(P=\frac{OA.GA}{a.GA}+\frac{OB.GB}{b.GB}+\frac{OC.GC}{c.GC}=\frac{3}{2}\left ( \frac{OA.GA}{am_a} +\frac{OB.GB}{b.m_b}+\frac{OC.GC}{c.m_c}\right )\)

trong đó, \(m_a, m_b, m_c\) tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C của \(\Delta\)ABC.

Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực không âm, ta có

\(a.m_a=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}\)

\(\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3a^2(2b^2+2c^2-a^2)}}{2}= \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

Bằng cách tương tự, ta cũng có: \(b.m_b\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\) và \(c.m_c\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)

Suy ra \(P\geq \frac{3\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}(OA.GA+OB.GB+OC.GC)\) (1)

Ta có: \(OA.GA+OB.GB+OC.GC\geq \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\) (2)

\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)
\(= \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GA}\right )\overrightarrow{GA} + \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GB}\right )\overrightarrow{GB} + \left ( \overrightarrow{OG} +\overrightarrow{GC}\right )\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{OG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+GA^2+GB^2+GC^2\)
\(=\frac{4}{5}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra \(P\leq \sqrt{3}\)
Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy \(P\leq \sqrt{3}\) khi x = 0

Vậy min \(P\leq \sqrt{3}\)