Tính tích phân: \(\small I=\int_{1}^{2}x\left ( lnx+\frac{1}{1+x^2} \right )dx\)

Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2}+\frac{32}{(1+c)^3}\)

Cho hình chóp A.BCD có hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) trùng với trung điểm H của đoạn BC. Tam giác BCD vuông tại D và có BC = 2a, BD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 600 . Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.

Giải bất phương trình \(log_2(x-3)-log_{\frac{1}{2}}(x-2)\leq 1\)

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn \(\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+3xy+4x^{2}}-3(x+y)^{2}\leq 0\)

Tìm GTNN của P: \(2(x^{3}+y^{3})+2(x^{2}+y^{2})-xy+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện SBMI.

Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{2x-1}\; \; (1).\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Tìm m để tọa độ đoạn \(AB=\sqrt{2}.\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x.e^{-x}\) trên đoạn [0;3]

Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2\left ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^{2}}+\frac{2}{(b-c)^{2}}} \right )+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

Cho hàm số \(y=f(t)=x^3+3x^2-2\) có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết \(f''(x_0) = 5x_{0} + 7\)