Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x + y +1 = z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{1+xy+x+y}}\)

Ybui

6 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 1118 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Nguyenhoa2299

Ta có: x, y, z > 0 nên \((1+x)(1+y)\leq \frac{(x+y+z)^2}{4}=\frac{(z+1)^2}{4}\) dấu = xảy ra khi x = y
Lại có: \(1+xy+x+y=(1+x)(1+y)\) và \(2xy\leq x^2+y^2\) dấu = xảy ra khi x = y
Nên ta được:
\(P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{1+xy+x+y}}\)
\(=\frac{x^4}{x^2+xyz}+\frac{y^4}{y^2+xyz}+\frac{z^4}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(1+x)(1+y)}}\)

\(P=\frac{x^4}{x^2+xyz}+\frac{y^4}{y^2+xyz}+\frac{z^4}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(1+x)(1+y)}}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)+2xyz}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+\frac{14}{(z+1)(\sqrt{(1+x)(1+y)})}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x^2+y^2)}{1+z}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(1+x)(1+y)}}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y)^2}{2(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(1+x)(1+y)}}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y)^2}{2(1+z)}+\frac{4z^3}{(z+1)^2}+\frac{28}{(z+1)^2}\)
\(=\frac{(z-1)^2}{2(1+z)}+\frac{4z^3+28}{(z+1)^2}=\frac{9z^3-z^2-z+57}{2(z+1)^2}\)
Xét hàm số \(f(z)=\frac{9z^3-z^2-z+57}{2(z+1)^2},z> 1\)
Ta có \(f'(z)=\frac{(3z-5)(3z^2+14z+23)}{2(z+1)^3},z> 1, f'(z)=0\Leftrightarrow z=\frac{5}{3}\)
Lập bảng biến thiên của hàm số f(z).
Ta nhận được \(min_{z\in (1;+\infty )}f(z)=f(\frac{5}{3})=\frac{53}{8}\)
Vậy GTNN của P bằng \(\frac{53}{8}\) đạt được khi \(x=y=\frac{1}{3},z=\frac{5}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tính nguyên hàm \(\int (e^{x}-2015)xdx\)

Help me!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Cho các số thực x ; y thay đổi . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{x^2+y^2+2x+1}+\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\left | y-2 \right |\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D, đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB =a, AD =a\sqrt{3}\) . Biết góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B'C và C'D' theo a .

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(-1-2\sqrt{2}< x< -1+2\sqrt{2},y> 0,z> 0\) và \(x+y+z=-1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{8-(y+z)^2}\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(y=x-5+\frac{1}{x}\)

Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{2x+1} \ \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng \(d:y=2mx+m+1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

(1,5 điểm)

Chứng minh rằng phương trình \(2x^2\sqrt{x-2}=11\) có nghiệm duy nhất.
Xét hàm số \(y=2x^2\sqrt{x-2}\), hàm số này liên tục trên \([2;+\infty )\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC = \(a\sqrt{3}\), mặt bên BCC'B' là hình vuông, M, N lần lượt là trung điểm của CC' và B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và MN.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến