Cho a,b,c>0 t/m a+b+c=3
CMR: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}\)+\(\dfrac{b+1}{c^2+1}\)+\(\dfrac{c+1}{a^2+1}\)>=3
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\dfrac{a+1}{b^2+1}=a+1-\dfrac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\dfrac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\dfrac{ab+b}{2}\)
\(\dfrac{b+1}{c^2+1}=b+1-\dfrac{c^2\left(b+1\right)}{c^2+1}\ge b+1-\dfrac{c^2\left(b+1\right)}{2c}=b+1-\dfrac{bc+c}{2}\)
\(\dfrac{c+1}{a^2+1}=c+1-\dfrac{a^2\left(c+1\right)}{a^2+1}\ge c+1-\dfrac{a^2\left(c+1\right)}{2a}=c+1-\dfrac{ac+a}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge a+1+b+1+c+1-\dfrac{ab+b}{2}-\dfrac{bc+c}{2}-\dfrac{ac+a}{2}=\dfrac{9-ab-bc-ac}{2}\ge\dfrac{9-3}{2}=3\)
\("="\Leftrightarrow x=y=1\)
Giải phương trình:
\(3^x+4^x=5^x\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x\(^3\)+y\(^3\)+z\(^3\)=1
CMR: \(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)+\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\)+\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\)>=2
Hỏi D=\(\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}\right)\) có là số nguyên không?
C/M \(x+\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left\{{}\begin{matrix}1;1\le x\\2x-1;x>1\end{matrix}\right.\)
Cho △ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (o). Gọi d là trung tuyến của đg` tròn tại A. Các trung tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự tại D và E.
a) CM: OD ⊥ OE
b) Cm: BD.CE = R2
c) CM: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
cho A=\(\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-5}}{z}\) tìm giá trị lớn nhất
Rút gọn: \(\sqrt{a+4\sqrt{a-2}+2}+\sqrt{a-4\sqrt{a-2}+2}\)
Cho (p) y = \(\dfrac{1}{4}x^2\) , (d) y = mx + 1
a. C/minh m sao cho d luôn cắt p tại 2 điểm phân biệt
b. A, B là 2 giao điểm của (d) và (p). Tính diện tích tam giác AOB
P/s: cần câu b câu giải đc
@Nhã Doanh
@Akai Haruma
Cho 0* < x <90*. Chứng minh đẳng thức sau:
\(\dfrac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\dfrac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}\)
Cho a,b,c > 0 biết \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=2\)
CMR : \(xyz\le\dfrac{1}{8}\)
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến