Bài này tương đối mệt và oái oăm nếu không sử dụng máy tính.
Ta có:
\((x^2+x+2)^2-(x+1)^2=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+x+2-x-1)(x^2+x+2+x+1)=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=x^6+1\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\)
\(\Rightarrow (x^2+1)[(x^4-x^2+1)-(x^2+2x+3)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^4-2x^2-2x-2)=0\)
\(\Rightarrow x^4-2x^2-2x-2=0\) (do \(x^2+1\geq 1>0\) với mọi x)
\(\Leftrightarrow x^4=2x^2+2x+2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^2a+a^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)
\(\Leftrightarrow (x^2+a)^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)
Ta phải tìm $a$ sao cho biểu thức vế phải cũng là một bình phương của một đa thức, tức là \((2+2a)x^2+2x+(a^2+2)=g^2(x)\)
Khi đó: \((x^2+a)^2=g^2(x)\Rightarrow (x^2+a-g(x))(x^2+a+g(x))=0\)
Lúc đó ta chuyển về giải pt bậc 2 đơn giản.