$a)\Delta ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow BCEF$ là hình thang cân
$b)E$ là trung điểm $AC,\,F$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow EF//BC \Leftrightarrow EF//BD;\\ EF=\dfrac{1}{2}BC=BD$
$\Rightarrow BDEF$ là hình bình hành
$c)\Delta ABC, G$ là giao điểm $3$ đường trung tuyến
$\Rightarrow FG=\dfrac{1}{2}GC$
Mà $FG=\dfrac{1}{2}MG$
$\Rightarrow GC=MG$
$\Rightarrow G$ là trung điểm $MC$
Chứng minh tương tự
$\Rightarrow G$ là trung điểm $NB$
$\Rightarrow BCNM$ là hình bình hành$(1)$
$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là trung tuyến đồng thời là trung trực của $BC$
Mà $G \in AD$
$\Rightarrow GB=GC\\ \Rightarrow GB=\dfrac{1}{2}MC$
$\Delta MBC$ có đường trung tuyến $GB$ ứng với cạnh huyền $MC$ bằng một nửa cạnh huyền
$\Rightarrow \Delta MBC$ vuông tại $B$
$\Rightarrow \widehat{MBC}=90^o(2)$
$(1)(2)\Rightarrow BCNM$ là hình chữ nhật
$d)\Rightarrow BCNM$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow GB=GC=GN=GM(3)$
$AMBG$ có $2$ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow AMBG$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM=GB(4)$
Chứng minh tương tự
$\Rightarrow AN=GC(5)\\ (3)(4)(5)\Rightarrow AN=AM=GN=GM$
$\Rightarrow AMGN$ là hình thoi
$e)\Rightarrow AMBG$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM//BG \Leftrightarrow AM//BN$
$\Rightarrow AMBN$ là hình thang
$f)AMBN$ là hình thang cân
$\Rightarrow MB=AN$
$AMBG$ là hình bình hành
$\Rightarrow MB=AG\\ \Rightarrow AN=AG$
$\Rightarrow \Delta ANG$ cân tại $A$
$\Rightarrow \Delta ANG$ cân tại $A$ có $AE$ là trung tuyến đồng thời là đường cao
$\Rightarrow \widehat{AEG}=90^o\\ \Rightarrow BE \perp AC$
Mà $E$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow BE$ là trung trực $AC$
$\Rightarrow AB=BC$
Mà $AB=AC(\Delta ABC$ cân tại $A)$
$\Rightarrow AB=AC=BC$
$\Rightarrow \Delta ABC$ đều
