`text\{a) ta có: ∠MOB= 90 độ (do AB⊥MN) và ∠MHB=90 độ (do MH⊥BC)}\text`
`text\{⇒ ∠MOB+∠MHB= 90 độ + 90 độ= 180 độ}\text`
`text\{⇒ tứ giác BOMH nội tiếp}\text`
`text\{b) ΔOMB vuông cân tại O nên ∠OBM=∠OMB (1)}\text`
`text\{tứ giác BOMH nội tiếp nên ∠OBM=∠OHM (cùng chắn cung OM)}\text`
`text\{và ∠OMB=∠OHB (cùng chắn cung OB) (2)}\text`
`text\{từ (1) và (2) ⇒ ∠OHM=∠OHB}\text`
⇒ HO là tia phân giác của ∠MHB ⇒ $\frac{ME}{BE}$ = $\frac{MH}{HB}$ (3)
áp dụng hệ thức lượng trong ΔBMC vuông tại M có MH là đường cao ta có: HM²= HC.HB⇒ $\frac{HM}{HB}$ = $\frac{HC}{HM}$ (4)
từ (3) và (4) ⇒ $\frac{ME}{BE}$ = $\frac{HC}{HM}$ (5) ⇒ ME.HM= BE.HC (điều phải chứng minh)
`text\{c) vì ∠MHC=90 độ (do MH⊥BC) trên đường tròn ngoại tiếp ΔMHC có đường kính là MC}\text`
`text\{⇒ ∠MKC= 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}\text`
`text\{MN là đường kính của đường tròn (O) nên ∠MKN=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}\text`
`text\{⇒ ∠MKC+∠MKN= 180 độ}\text`
`text\{→ 3 điểm C,K,N thẳng hàng (*)}\text`
ΔMHC~ΔBMC (g.g)⇒ $\frac{HC}{MH}$ - $\frac{MC}{BM}$ . mà MB-BN (do ΔMBN cân tại B)
⇒ $\frac{HC}{HM}$ = $\frac{MC}{BN}$, kết hợp với $\frac{ME}{BE}$ = $\frac{ME}{BE}$ (theo (5))
⇒ $\frac{MC}{BN}$ = $\frac{ME}{BE}$. mà ∠EBN=∠EMC= 90 độ⇒ ΔMCE~ΔBNE (c.g.c)
`text\{⇒ ∠MEC=∠BEN, mà ∠MEC+∠BEC= 180 độ (do 3 điểm M,E,B thẳng hàng)}\text`
`text\{⇒ ∠BEC+∠BEN= 180 độ}\text`
`text\{⇒ 3 điểm C,E,N thẳng hàng (**)}\text`
`text\{từ (*) và (**) ⇒ 4 điểm C,K,E,N thẳng hàng}\text`
`text\{⇒ 3 điểm C,K,E thẳng hàng (điều phải chứng minh)}\text`
🍀 #ɷįᵰƫ_ᵭậᵱ_ɕɧᶏɨ 🍀
