Đáp án:
$\displaystyle\iint\limits_D (x^2y - 2x)dxdy= -\dfrac12$
Giải thích các bước giải:
$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D (x^2y - 2x)dxdy\quad D:\begin{cases}y = x\\y = 2-x\\x = 2\end{cases}$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\quad x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$
Miền $D$ được biểu diễn:
$\quad D = \{(x,y): 1 \leqslant x \leqslant 2;\ 2- x\leqslant y \leqslant x\}$
Ta được:
$\quad I = \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_{2-x}^x(x^2y - 2x)dy$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^2\left[\left(\dfrac{x^2y^2}{2} - 2xy\right)\Bigg|_{2-x}^{x}\right]dx$
$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^2(2x^3 - 6x^2 + 4x)dx$
$\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^4}{2} - 2x^3 + 2x^2\right)\Bigg|_1^2$
$\Leftrightarrow I = -\dfrac12$