a,
• TXĐ: $D=\mathbb{R}$ \ $\{2\}$
• Sự biến thiên của hàm số:
$\lim\limits_{x\to 2^+}y=+\infty$
$\to$ TCĐ $x=2$
$\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=3$
$\to$ TCN $y=3$
$y'=\dfrac{-3.2-3.1}=\dfrac{-9}{(x-2)^2}<0\forall x\ne 2$
$\to$ hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$
• Vẽ đồ thị
Đồ thị nhận $(2;3)$ làm tâm đối xứng
Đồ thị cắt Oy tại $(0;-0,5)$, cắt Ox tại $(-1;0)$
Ta có đồ thị như hình
b,
$y=\dfrac{3x+3}{x-2}$
$y'=\dfrac{-9}{(x-2)^2}$
Gọi tiếp điểm: $(x_o; f(x_o))$
PTTT:
$y=\dfrac{-9(x-x_o)}{(x_o-2)^2}+\dfrac{3x_o+3}{x_o-2}$
$=\dfrac{-9x}{(x_o-2)^2}+\dfrac{9x_o+(3x_o+3)(x_o-2)}{(x_o-2)^2}$
$=\dfrac{-9x}{(x_o-2)^2}+\dfrac{3x_o^2+6x_o-6}{(x_o-2)^2}$
Ta có: $\dfrac{3x_o^2+6x_o-6}{(x_o-2)^2}=0$
$\to x_o=-1\pm\sqrt3$
Vậy PTTT là: $y=\dfrac{-6\mp 3\sqrt3}{2}x$
c,
$y=\dfrac{3x+3}{ x-2}=\dfrac{3x-6+9}{x-2}=3+\dfrac{9}{x-2}\in\mathbb{Z}$
$\to x-2\in\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\}$
$\to x\in\{3; 1; 5; -1; 11; -7\}$
Vậy các điểm là: $(3;12), (1;-6), (5;6), (-1; 0), (11; 4), (-7;2)$
