Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 \) và \(AA' = 2\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A'B'\), \(A'C'\) và \(BC\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)
C.\(\dfrac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)
D.\(\dfrac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\)

Cho khối chóp \(S.ABC\) có các góc phẳng ở định \(S\) bằng \({60^0}\), \(SA = 1\), \(SB = 2\), \(SC = 3\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{72}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{\dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
A.\(m \in \left( { - 1;1} \right)\)
B.\(m \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\)
C.\(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right)\)
D.\(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{2x - 1}}\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng:
A.\(4 + \ln 15\)
B.\(2 + \ln 15\)
C.\(3 + \ln 15\)
D.\(\ln 15\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong của góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng:
A.\(4\)
B.\(5\)
C.\(14\)
D.\(15\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {2;3;0} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:
A.\(3\)
B.\(5\)
C.\(\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt {23} \)

Biết \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:
A.\(24\)
B.\(12\)
C.\(18\)
D.\(46\)

Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp độc lập. Gọi \(a\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng:
A.\(\dfrac{{17}}{{36}}\)
B.\(\dfrac{{19}}{{36}}\)
C.\(\dfrac{1}{2}\)
D.\(\dfrac{4}{9}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A.\(5\)
B.\(9\)
C.\(3\)
D.\(7\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 \), \(AB = AC = 2a\), \(BC = 3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
A.\(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{2}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt {35} {a^3}}}{6}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\)