Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ và $M\left( {4;6;3} \right)$. Qua $M$ kẻ các tia $Mx,\,My,\,Mz$ đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là $A,B,C$. Biết mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ luôn đi qua một điểm cố định $H\left( {a;b;c} \right).$ Tính $a + 3b - c.$
A.$9$
B.$20$
C.$14$
D.$11$

Cho các số thực $a,b,c,d$ thay đổi luôn thỏa mãn ${\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} = 1$ và $4c + 3d - 5 = 0$. Tính giá trị nhỏ nhất của $T = {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}.$
A.$16$
B.$18$
C.$9$
D.$15$

Biết phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$. Có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số $y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.$4$
B.$3$
C.$5$
D.$2$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,\,x = 2$ (phần tô đen) là:
A.$S =  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx.} }$
B.$S = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx.}$
C.$S = \left| {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right|.$
D.$S = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} }$

Cho tập $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}.$ Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nahu lấy từ các phần tử của tập $A$ sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số $1,2,3$ luôn có mặt cạnh bằng nhau là
A.$\dfrac{1}{{40}}$
B.$\dfrac{{11}}{{360}}$
C.$\dfrac{{11}}{{420}}$
D.$\dfrac{1}{{45}}$

Cho khối tứ diện $ABCD$ có $BC = 3,\,CD = 4,\,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}.$ Góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng ${60^0}.$ Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ bằng
A.$\dfrac{{\sqrt {43} }}{{86}}$
B.$\dfrac{{\sqrt {43} }}{{43}}$
C.$\dfrac{{2\sqrt {43} }}{{43}}$
D.$\dfrac{{4\sqrt {43} }}{{43}}$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có$A\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right),\,$$D\left( {0;2a;0} \right),\,A'\left( {0;0;2a} \right)$ với $a \ne 0.$ Độ dài đoạn thẳng $AC'$ là
A.$\dfrac{{3\left| a \right|}}{2}$
B.$\left| a \right|$
C.$3\left| a \right|$
D.$2\left| a \right|$

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x} + x$ là
A.${2^x} + {x^2} + C$
B.$\dfrac{{{2^x}}}{{\ln \,2}} + {x^2} + C$  
C.${2^x} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C$
D.$\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C$

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left( {cos2x} \right) = 0$ trên $\left[ {0;2\pi } \right]$.
A.$4$
B.$1$
C.$3$
D.$2$

Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$ bằng $\dfrac{5}{6}$. Tính tổng của các phần tử trong $T$.
A.$\dfrac{{17}}{5}$
B.$2$
C.$6$
D.$\dfrac{{16}}{5}$