Phương trình \(\left( {5 - {m^2}} \right)\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4 = 0\) có nghiệm với bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m?\) A.\(0\) B.\(2\) C.\(3\) D.\(1\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Vì \(m\) nguyên nên với \(\left| m \right| \ge 2\) ta có: \(\left( {5 - {m^2}} \right)\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4 < 0\,\,,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. Với \(m = \pm 1\) ta có phương trình : \(4\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow 4\left( {\sin {x^{2019}} - 1} \right) - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {x^{2019}} = 1\\x = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm). Với \(m = 0\) ta có phương trình: \(5\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4 = 0\). Đặt \(f\left( x \right) = 5\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4\) - Với \(\left| x \right| > \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì \(5\sin {x^{2019}} - 2{x^2} - 4 < 5\sin {x^{2019}} - 5 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. - Với \(x \in \left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right]\) thì \(\sin {x^{2019}} \le 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. - Với \(x \in \left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\) thì \(0 < 5\sin {x^{2019}} \le 5\sin x < 5\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} < 4 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. Phương trình vô nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}.\) Chọn A.