Lời giải:
Nếu $p$ chẵn thì \(p=2\Rightarrow 2^p+p^2=8ot\in\mathbb{P}\)
Kí hiệu \(\text{BS3}\) là bội số của $3$
Do đó $p$ lẻ. Trong TH $p$ lẻ, xét các TH nhỏ sau:
\(\bullet p=3k\Rightarrow p\vdots 3\Rightarrow p=3\Rightarrow p^2+2^p=17\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
\(\bullet p=3k+1\Rightarrow 2^p+p^2= 2^p+(3k+1)^2=(3-1)^p+9k^2+6k+1\)
\(=\text{BS3}-1+9k^2+6k+1=\text{BS3}+9k^2+6k\vdots 3\)
Mà \(2^p+p^2>3\) nên nó không thể là số nguyên tố (loại)
\(\bullet p=3k+2\Rightarrow 2^p+p^2=2^p+(3k+2)^2\)
\(=(3-1)^p+9k^2+12k+4=\text{BS3}-1+9k^2+12k+4\)
\(=\text{BS3}+9k^2+12k+3\vdots 3\)
Mà \(2^p+p^2>3\Rightarrow \) nó không thể là số nguyên tố (loại)
Vậy \(p=3\)
