Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\).
- Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).
Giải chi tiết:+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).
+ Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6\left( {3m - 1} \right)x + 6\left( {2{m^2} - m} \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow y' = {x^2} - \left( {3m - 1} \right)x + \left( {2{m^2} - m} \right) = 0\).
+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4\left( {2{m^2} - m} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).
+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - m\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 6m + 1 - 8{m^2} + 4m > 0\\{\left( {3m - 1} \right)^2} - 4\left( {2{m^2} - m} \right) = 16\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 > 0\\{m^2} - 2m + 1 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 3\end{array} \right.\end{array}\).
Vậy \(m = 5\) hoặc \(m = - 3\).
Chọn C.
