Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right)\) vô nghiệm? A.\(4\) B.\(5\) C.\(6\) D.\(3\)
Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Đưa về cùng cơ số 2. - Giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\). - Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\). - Lập BBT của hàm số \(f\left( x \right)\), từ BBT tìm điều kiện của \(m\) để phương trình vô nghiệm. Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\x > - 1\end{array} \right.\). Ta có: \(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Do \(x > - 1 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} > 0\) \( \Rightarrow mx e 0 \Leftrightarrow x e 0\). Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = f\left( x \right)\) với \(x > - 1,\,\,x e 0\). Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right).x - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\) BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le m < 4\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.