Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\).  Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(g\left( t \right) = m\).
- Phương trình có nghiệm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right)\), với \(\left[ {a;b} \right]\) là khoảng giá trị của \(t\) theo \(x\).
- Khảo sát hàm số \(y = g\left( t \right)\), tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right);\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right)\) và kết luận.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2{\left( {x - 3} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\dfrac{1}{{x - 3}} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2\left( {x - 3} \right) - 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2\left( {x - 3} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 1} \right) = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\). Với \(x \in \left[ {\dfrac{{10}}{3};6} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Phương trình trở thành: \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\).
Bài toán trở thành: Tìm giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\) (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Đặt \(g\left( t \right) - \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\), khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right)\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) - \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + {t^2} + 10{t^2} - 5t - 2t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array}\)
Lại có hàm số \(y = g\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), do đó hàm số \(y = g\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) =  - 3;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( { - 1} \right) = \dfrac{7}{3}\).
Suy ra \( - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).
Vậy có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.