Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Gọi \(P',\,\,Q',\,\,R'\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {PQR} \right)\) với các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\).  Chứng minh \(P',\,\,Q',\,\,R'\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\), đồng thời \(P,\,\,Q,\,\,R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(Q'R',\,\,R'P',\,\,P'Q'\).
- Đặt \(V = {V_{ABC.Q'R'P'}}\), tính \({V_{B.R'PQ}}\), \({V_{A.Q'PR}}\), \({V_{CMN.P'QR}}\) theo \(V\).
- Tính \({V_{PQRABMN}} = V - {V_{B.R'PQ}} - {V_{A.Q'PR}} - {V_{CMN.P'QR}}\) theo \(V\).
- Tính \(V\) và suy ra \({V_{PQRABMN}}\).Giải chi tiết:
Gọi \(P',\,\,Q',\,\,R'\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {PQR} \right)\) với các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\).
Dễ dàng chứng minh được \(P',\,\,Q',\,\,R'\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(CC',\,\,AA',\,\,BB'\), đồng thời \(P,\,\,Q,\,\,R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(Q'R',\,\,R'P',\,\,P'Q'\).
Đặt \(V = {V_{ABC.Q'R'P'}}\).
Ta có: \({S_{R'PQ}} = \dfrac{1}{4}{S_{R'Q'P'}}\) nên \({V_{B.R'PQ}} = \dfrac{1}{4}{V_{B.R'Q'P'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{1}{{12}}V\).
Tương tự ta có: \({V_{A.Q'PR}} = \dfrac{1}{{12}}V\).
Ta có: \({S_{MNC}} = {S_{QRP'}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\) nên \({V_{CMN.P'QR}} = \dfrac{V}{4}\).
Vậy \(V{V_{PQRABMN}} = V - {V_{B.R'PQ}} - {V_{A.Q'PR}} - {V_{CMN.P'QR}} = V - 2.\dfrac{V}{{12}} - \dfrac{V}{4} = \dfrac{{7V}}{{12}} = \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{2}.12.6 = 21\).
Chọn D.