Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}}  = 3\sqrt 3 a\).
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho \(a = 1\), ta có:
\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \({C_1}\left( {0;3\sqrt 3 ;z} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(A{C_1}\) \( \Rightarrow I\left( {0;\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2};\dfrac{z}{2}} \right)\).
Vì mặt cầu đường kính \(A{C_1}\) tiếp xúc với \(Bx\) nên \(d\left( {I;Bx} \right)\) là bán kính của mặt cầu đường kính \(A{C_1}\).
\( \Rightarrow d\left( {I;B{B_1}} \right) = \dfrac{1}{2}A{C_1} = IA\).
Ta có: \(d\left( {I;B{B_1}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IB} ;\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}} } \right|}}\), vì \(B{B_1}//Ax\) nên \(\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}}  = \left( {0;0;1} \right)\). Lại có \(\overrightarrow {IB}  = \left( {3; - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{z}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IB} ;\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}} } \right] = \left( { - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}; - 3;0} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {I;B{B_1}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IB} ;\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{B{B_1}}}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{27}}{4} + 9 + 0} }}{1} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{2}\).
Ta có:  \(IA = \sqrt {0 + \dfrac{{27}}{4} + \dfrac{{{z^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{27}}{4} + \dfrac{{{z^2}}}{4}} \)
Khi đó ta có \(d\left( {I;B{B_1}} \right) = IA \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt 7 }}{2} = \sqrt {\dfrac{{27}}{4} + \dfrac{{{z^2}}}{4}}  \Leftrightarrow z = 6\).
\( \Rightarrow {C_1}\left( {0;3\sqrt 3 ;6} \right)\).
Tương tự đặt \({B_1}\left( {3a;0;z'} \right)\), gọi \(J\left( {3a;0;\dfrac{{z'}}{2}} \right)\) là trung điểm của \(BB'\), vì mặt cầu đường kính \(B{B_1}\) tiếp xúc với \(Cy\) nên \(d\left( {J;Cy} \right) = \dfrac{1}{2}B{B_1} = BJ\), ta tính được \(z' = 12\) \( \Rightarrow B{B_1} = 12a\).
\( \Rightarrow {S_{BC{C_1}{B_1}}} = \dfrac{{\left( {B{B_1} + C{C_1}} \right).BC}}{2} = \dfrac{{\left( {12a + 6a} \right).6a}}{2} = 54{a^2}\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot B{B_1}\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) và \(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3a.3\sqrt 3 a}}{{6a}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a\).
Vậy \({V_{ABC{C_1}{B_1}}} = {V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BC{C_1}{B_1}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a.54{a^2} = 27\sqrt 3 {a^3}\).
Chọn A