Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
- Xác định góc giữa \(AC'\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc giữa \(AC'\) và hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong các tam giác vuông tính độ dài các cạnh, từ đó tính \(\sin \alpha \).Giải chi tiết:
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
\( \Rightarrow HC'\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {AC';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {AC';HC'} \right) = \angle AC'H = \alpha \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), \(HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(C'H = \sqrt {CC{'^2} + C{H^2}}  = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AC'H\) ta có: \(AC' = \sqrt {A{H^2} + C'{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}} \right)}^2}}  = 2a\).
Vậy \(\sin \alpha  = \sin \angle AC'H = \dfrac{{AH}}{{AC'}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:2a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn A