Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \), tìm tọa độ điểm \(I\).- Phân tích biểu thức \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách đưa về vectơ và chèn điểm \(I\).- Chứng minh \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất, khi đó \(MI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).- Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).Giải chi tiết:Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \), ta có:\(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x;3 - y;4 - z} \right),\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( {1 - x; - 2 - y; - 1 - z} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {1 - x} \right) + 2\left( {1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) + 2\left( { - 2 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( { - 1 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - 5x = 0\\5 - 5y = 0\\10 - 5z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;1;2} \right)\)Ta có:\(\begin{array}{l}3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right)\\ = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)Vì \(I,\,\,A,\,\,B\) cố định nên \(3I{A^2} + 2I{B^2}\) không đổi, do đó \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất, khi đó \(MI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 1 + 2.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt 6 }} = 2\sqrt 6 \).\(\overrightarrow {IA}  = \left( {0;2;2} \right) \Rightarrow IA = 2\sqrt 2 ,\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( {0; - 3; - 3} \right) \Rightarrow IB = 3\sqrt 2 \).Vậy \({\left( {3M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.{\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} + 3.{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2.{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 180\).Chọn D