Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Đổi \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\), với \(O = AC \cap BD\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\), chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(AO \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\end{array}\)
Vì \({S_{ABCD}} = {a^2} \Rightarrow BC = a\), \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\)
Ta có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SOM\): \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Chọn A