Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Sưu tầm Toanmath
ĐK: \(a > 0\).
Vì \(\sqrt {1 + {{\ln }^2}a}  > \left| {\ln a} \right| \ge \ln a \Rightarrow \sqrt {1 + {{\ln }^2}a}  - \ln a > 0\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {1 + {{\ln }^2}a}  + \ln a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  + a - 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  + a - 3}}{{\sqrt {1 + {{\ln }^2}a}  - \ln a}} \le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  + a - 3 \le \sqrt {1 + {{\ln }^2}a}  + \left( { - \ln a} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \sqrt {1 + {t^2}}  + t\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + 1 = \dfrac{{t + \sqrt {1 + {t^2}} }}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {a - 3} \right) \le f\left( { - \ln a} \right) \Leftrightarrow a - 3 \le  - \ln a \Leftrightarrow a - 3 + \ln a \le 0\).
Xét hàm số \(g\left( a \right) = a - 3 + \ln a\,\,\left( {a > 0} \right)\) ta có \(g'\left( a \right) = 1 + \dfrac{1}{a} > 0\,\,\forall a > 0\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( a \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow g\left( a \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm \(a > 0\).
Ta có \(g\left( 2 \right).g\left( 3 \right) = \left( {\ln 2 - 1} \right)\ln 3 < 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \({a_0} \in \left( {2;3} \right)\).
Vậy \(g\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow a \le {a_0} \Rightarrow a \in \left( {0;{a_0}} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\).
Chọn D