- Xét hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\), tính \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\). - Đặt \(t = 2x\), đưa phương trình về dạng \(f'\left( t \right) = h\left( t \right)\). - Tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số. - Lập BBT hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) trên \(\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\) và tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]} g\left( x \right)\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) ta có: \(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 24f'\left( {2x} \right) + 96{x^2} + 24x - 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12\left[ {2f'\left( {2x} \right) + 8{x^2} + 2x - 1} \right]\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( {2x} \right) + 8{x^2} + 2x - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt \(t = 2x \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2f'\left( t \right) + 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - {t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\,\,\left( {**} \right)\). Vì \(t \in \left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 3;1} \right]\). Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = - {t^2} - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\) trên cùng hệ trục tọa độ ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = - 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{3}{2}\\x = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) Khi đó ta có BBT hàm số \(g\left( x \right) = 12f\left( {2x} \right) + 32{x^3} + 12{x^2} - 12x + 2021\) như sau:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 12f\left( { - 1} \right) + 2026\). Chọn A
